1-Mavzu. Geometriya fanining aksiomatik asosi haqida. Geometriya fanining zamonaviy ta’rifi. Affin tekisligidagi geometriyalar. Minkovskiy geometriyasi. Galiley geometriyasi

Geometriya fanining zamonaviy ta’rifi. 
 

---

Odatda geometriya so„zi “geo”-yer, “metriya”-o„lchash ya`ni “yerdagi 
o„lchash” degan ma`noni beradi. Geometriya degan atama fanning qadimda 
haqiqatdan ham yerdagi o„lchash ishlari jarayonida paydo bo„lgani sababdir.
Haqiqatdan ham geometriya eradan oldingi III-asrdayoq fan sifatida 
rivojlanib, Yevklidning “Negizlar” kitobida to„la mantiqiy ko„rinishga ega bo„gan 
fandir. Demak, geometriya fani qadimiy fan bo„lib uning paydo bo„lganiga 24 
asrdan ko„proq vaqt o„tibdi. Bu 24 asr davomida nafaqat geometriya fani, hozirgi 
davrda ta`lim tizimida o„qitilayotgan barcha fanlar paydo bo„ldi va rivojlandi. 
Boshqa fanlar singari geometriya fanida ham bir necha bor o„z boshidan 
“revolutsion” o„zgarishlarni o„tkazgan. Bu o„zgarishlar davrida geometriya fani 
yangi yo„nalish bo„yicha rivojlanishlarni o„z boshidan o„tkazgan. Shuningdek, bu 
o„zgarishlar geometriya fanining asosiga ham ta‟luqli bo„lgan. 
Ma‟lumki, geometriya fanining asosi uning “aksiomalar”- poydevori ustiga 
qurilishidir. Umuman aksiomalar har qanday fanning qurilishining asosini tashkil 
etadi.
Geometriya fani aytganimizdek eradan oldingi III-asrdayoq o„zining 
aksiomatik qurilishiga ega bo„lgan. Bu aksiomalar XIX-asrgacha, ya‟ni
N.I. Lobachevskiy tomonidan yangicha aksioma taklif etilgunga qadar noroziliklar 
va aksiomalarga ishonchsizliklar girdobida bo„lgan.
Shuni aytib o„tish kerakki XX-asrgacha davrda Yevklid aksiomalarini bilish 
va uni o„rganish insonlar o„rtasida ziyolilik belgisi hisoblangan. Ya‟ni har qanday 
ilm bilan shug„ullangan odam bu tushunchalarni bilishi oddiy hol bo„lgan. 
Biz bu qo„llanma doirasida, aksioma bilan bog„liq izlanishlarga to„xtalib 
o„tirmaymiz. Ammo bu muammoga bog„liq fikrlarni “Geometriya asoslari”ga doir 
adabiyotlardan topish mumkin.
Maqsadimiz geometriya fanining uning hozirgi davrdagi rivojiga mos 
keluvchi zamonaviy ta‟rifini keltirishdir. Xo„sh buning uchun avvalo geometriya 
fani nimalar bilan va qanday shug„ullanishiga e‟tibor qarataylik. (Bunda biz 
o„quvchi geometriyaning boshlang„ich tushunchalaridan xabardor deb 
hisoblaymiz. Hech bo„lmasa 8-sinf hajmida). Odatda geometrik shakl xossasini 
o„rganayotganda bu shakl qanday narsadan (materialdan) tashkil topgani, uning 
rangi yoki yumshoq qattiqligi, uning qayerda turgani bizni qiziqtirmaydi. 
Shuningdek o„rganayotgan shakl o„lchami haqida gapirilganda faqat uning 
kattaligia ahamiyatga ega bo„lib o„lchov birligining qanday ekani ham 
ahamiyatsiz. Masalan: “Tomonlari 3, 4 va 5 birlikka ega uchburchak” deganda 
ko„z oldimizda shu o„lchamli to„g„ri burchakli uchburchak namoyon bo„ladi. Biz 
bu o„lchovlarni “qadam” dami, “quloch” dami, sm yoki yorug„lik yilida 
o„lchanayotgani bilan qiziqmaymiz. Shuningdek, yana bir masalani qaraylik, 
Masala: qarama-qarshi tomonlari a va b birlikka teng to„rtburchak yuzi topilsin. 

---

Qarama-qarshi tomonlari teng bo„lgani uchun bu to„rtburchak parallellogram 
ekanini bilamiz. Ammo bunday parallellogramlar cheksiz ko„p xilda bo„ladi. Eng 
sodda holda bu to„g„ri to„rtburchak yoki tomonlari orasidagi burchak α-bo„lgan 
prallellogram. Ammo α-burchak 
oraliqdagi ixtiyoriy qiymatni qabul qilishi 
mumkin. Umuman aytganda masalada berilgan to„rtburchak yuzasini
tenglik bilan aniqlash mumkin. Lekin geometriya fanida to„g„ri to„rtburchak va 
parallelogram alohida-alohida sinf vakili sifatida o„rganiladi. Bunda α-burchak 
o„zgarmas deb hisoblanadi. Aslida burchakning har xil qiymatlariga tegishli 
to„rtburchaklar ham har-xil deb hisoblanadi. Ammo bu to„rtburchaklar biri 
ikkinchisidan burchak o„zgarishi bilan farq qiladi. Ularning birining burchagini 
o„zgartirish yo„li bilan boshqasini hosil qilish mumkin. 
Demak, ahamiyat bersangiz geometriya shaklni o„zgarmagan holda o„rganar 
ekan. Ammo shu vaqtning o„zida shaklni qayerda ekani yuqorida aytib o„tilganidek 
ahamiyatga ega emas. 
Demak, tomonlari a, b bo„lgan to„g„ri to„rtburchak yuzi 
bo„ladi. 
Bu tenglikni aniqlayotganda, a, b ning o„lchami qanday ekani, bu to„rtburchakning 
yerdami, osmondami yoki suv yuzidami ekani bizni qiziqtirmaydi. Faqat 
tekislikdagi shakl bo„lsa kifoya. 
Demak, geometriyaga zamonaviy ta‟rif berishda bu fanning yuqorida aytib 
o„tilgan xislatlarini hisobga olish kerak. 
Yana bir savol o„z-o„zidan paydo bo„ladi. “Yevklid geometriyasidan boshqa 
geometriya ham bormi -?” Bu savolga ham “Ha” deb javob beramiz. Masalan: 
O„sha - tekisligida kesma uzunligini
(4.2.3) 
tenglik bilan aniqlansa, bu masofa
(4.2.4) 
akslantirishda saqlanishini ko„rsatish mumkin. Bu degan so„z yangicha masofa (3), 
yangi akslantirish (4.2.3) – izometriyani hosil qilayapti. Bu esa yangi geometriyani 
paydo qiladi. Fanda bu “Psevdoyevklid geometriya” yoki “Minkovskiy