1-mavzu. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar, ularning xossalari Ikkinchi tartibli determinant

3. Determinantning xossalari. Bu xossalarni uchinchi tartibli determinant uchun keltiramiz.
a) Determinantning satrlaridagi elementlari va ustunlaridagi elementlari o’rinlari almashtirilganda uning miqdori o’zgarmaydi:
.
Bu xossani isbotlash uchun yuqoridagi determinantlarga (5) formulani tatbiq etish va olingan ifodalarning to’g’riligiga ishonch hosil qilish kifoyadir. Bu xossa determinantning satr va ustunlari elementlarining teng xuquqligini belgilab beradi. SHu sababli barcha keyingi xossalari satrlar uchun ham, ustunlar uchun ham ta’riflab, ularni bir so’z bilan qator deb ataymiz.
b) Agar determinantning ikkita parallel qator elementlarining o’rinlari almashtirilsa, uning ishorasi qarama – qarshi ishoraga almashadi. Masalan,

Bu xossa ham oldingi xossa kabi isbotlanadi.
v) Agar determinant ikkita bir xil elementli qatorga ega bo’lsa, u nolga teng. Haqiqatan, ikkita paralllel bir xil elementli qatorlarning o’rinlarini almashtirish bilan determinant o’zgarmaydi, biroq b) xossaga asosan uning ishorasi o’zgaradi. Demak, , ya’ni yoki . Masalan,

g) Determinant biror qatorning barcha elementlarini istalgan λ songa ko’paytirish determinantni bu songa ko’paytirishga teng kuchlidir:

Bu xossa determinantlarga (5) formulani tatbiq etish bilan tekshiriladi. Ushbu da’vo bu xossaning natijasi bo’ladi: biror qator elementlarining umumiy ko’paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
d) Agar determinant nollardan iborat bo’lgan qatorga ega bo’lsa, u nolga teng: Bu xossa oldingi xossadan λ=0 bo’lganda kelib chiqadi.
e) Agar determinant ikkita parallel proporsional qatorga ega bo’lsa, u nolga teng. Haqiqatan, agar ikkita parallel qatorning hadlari proporsional bo’lsa, u xolda g) xossaga asosan, bu qatorlar elementlarining umumiy ko’paytuvchisini determinant belgisidan tashqari chiqarish mumkin, natijada ikkita parallel bir xil qator qoladi, u esa (v) xossaga asosan nolga teng. Masalan,

j) Agar determinant biror qatorning har bir elementi ikkita qo’shiluvchining yigindisidan iborat bo’lsa, u xolda bu determinant ikki determinant yig’indisidan iborat bo’ladi. Masalan,

Bu xossa determinantlarga (5) formulani qo’llanish bilan tekshiriladi.
3) Agar biror qator elementlariga boshqa parallel qatorning elementlarini istalgan umumiy ko’paytuvchiga ko’paytirib qo’shilsa, determinant o’zgarmaydi. Masalan,

Bu xossani o’ng tomonga j) va e) xossalarni qo’llab tekshirish mumkin: