1-Mavzu. Kirish. Analitik geometriya fani haqida qisqacha ma’lumot

Ma' ruza rejasi:

1. 
   Ikki tekislik orasidagi burchak.
   
2. 
   Fazoda tekilikning paralellik sharti.
   
3. 
   Ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti.
   
4. 
   Tekislikning normal teglamasi.
   

Kalit so’zlar: To’gri chiziq, kesma, yonaltiruvchi kesma, proeksiya, vektor

1. 
   Ma'ruza matni
   

Ikki tekislik orasidagi burchak

Tekisliklar umumiy ko’rinishdagi A_xx + B_xy + C_xz + D_x = 0 va A_nx + B_ny + C_nz + D_n = 0 tenglamalari bilan berilgan bo’lsin.

Ko’rinib turibdiki, bu tekisliklar orasidagi ikkiyoqli burchakni aniqlash masalasi ularning normal m = {A_} va n₂ ⁼ {A₂,B₂,C₂} vektorlari orasidagi chiziqli ф burchakni aniqlash

masalasiga keltiriladi, shuning uchun


П\ n₂

(6.4)

COS (p =

h hi I 7л² + ^B\ + q² • 4^Al + ^B2 + с

A_lA₂+B_lB₂+C_lC₂

Tekisliklarning parallellik sharti ni va n₂ vektorlarning kollinearligiga ekvivalent va quyidagi ko’rinishga ega:

Л _ By _ Q

/1₂ B₂ C₂

Tekisliklarning perpendikularlik sharti (6.4) formuladan (coscp=0 da) keltirib chiqarilishi yoki щ va n₂ vektorlar skalyar ko’paytmasining nolga tengligi bilan ifodalanishi mumkin va u quyidagi ko’rinishga ega:

a_xa_n + b_xb₀ + CjCt = 0

Bir to’g’ri chiziqda yotmagan har xil uch nuqta orqali o’tuvchi tekislik tenglamasi

Berilgan M_l{x_l,y_l,z_l), M ₂{x₂,y₂,z₂) va M₃(x₃,y₃,z₃) nuqtalar bir to’g’ri chiziqda

• 
  ^ ^
  

yotmaganligi uchun M_XM ₂ va M_XM₃ vektorlar nokollinear, shuning uchun M(x,y,z) nuqta

faqat va faqat M_XM₂ = {x₂ -x_uy₂ -y_uz₂ -Zj}, М₁М_Ъ = {x₃ -Xj,y₃ -zj va


= 0 (6.5)
M₁M = {x-x₁,y-y₁,z-z₁} vektorlar komplanar bo’lganda, ya’ni bu vektorlarning aralash ko’paytmasi nolga teng bo’lganda:

X	-*1	У	~У i	Z	- Zj
x2		У 2		^Z2	-z.
x3	-*1	Уз	~У1	-з

,M₂ ,M₃ nuqtalar bilan bir tekislikda yotadi.

Birinchi darajali (6.5) tenglama izlanayotgan tekislik tenglamasidir. Ko’rish qiyin emaski, (6.5) tenglama o’rniga unga ekvivalent bo’lgan

X	У	z	1
^x1	Ух	^z\	1
x2	У 2	^Z2	1
^X3	Уъ	^Zl	1

= 0




ko’rinishdagi tenglamani qo’llash mumkin.

Nuqtaning tekislikdan uzoqlashishi

d - Mo nuqtadan tekislikkacha masofa bo’lsin. Mo nuqtaning tekislikdan 5 uzoqlashishi deb, M₀ nuqta va koordinata boshi О tekislikka nisbatan turli tomonlarda yotganda, + d songa, M₀ va О tekislikka nisbatan bir tomonda yotganda, - d songa aytiladi.

M₀ nuqtani n vektor bilan aniqlangan o’qqa proektsiyalaymiz. Q - M₀ nuqtaning

proektsiyasi bo’lsin, u holda, ko’rinib turibdiki, M₀ nuqtaning tekislikdan 5 uzoqlashishi PQ yo’naltirilgan kesmaning RQ kattaligiga teng, ya’ni 5 = RQ = OQ - OR = OQ - r bo’ladi. Lekin

OQ = pr_nOMо = xo cos a +yo cos a + z₀ cos y.

Demak,

5 = x₀ cos а+уо cos (3 + z₀ cos у - г.

Shunday qilib, M₀(x₀,yo,zo) nuqtaning (6.8) tekislikdan 5 uzoqlashishini topish uchun

8. 
   tenglamaning chap tomonidagi x, y, z laming o’rniga M₀ nuqtaning x₀yo zo koordinatalarini qo’yish lozim. Bu qoidani M₀ nuqtadan (6.8) tekislikgacha bo’lgan d masofani aniqlashda qo’llash mumkin, chunki masofa uzoqlashishning moduliga teng. To’g’ri chiziqlarda bo’lgani kabi, tekislikning umumiy Ax + By + Cz + D = 0 tenglamasini normal (6.8) ko’rinishga keltirish
   

uchun uni ishorasini D ishorasiga qarama-qarshi olgan holda normallovchi \x = ± 1 ko’paytuvchiga ko’paytirish kerak.

■Ja² + b²+c²

Tekisliklar dastasi va bog’lami. Bitta L to’g’ri chiziqdan o’tuvchi barcha tekisliklar to’plami L markazli tekisliklar dastasi deyiladi. To’g’ri chiziqlar dastasidagidek, agar

A_xx + B_xy + CjZ + Д = 0 va A_nx + B_ny+ C_nz + D_n = 0 - ikki turli parallel bo’lmagan va kesishish to’g’ri chizig’i L bo’lgan tekisliklar tenglamalari, a va (3 - esa ixtiyoriy, bir vaqtda nolga teng bo’lmagan sonlar bo’lsa,

a{A_xx + B_Ay + CjZ + Д) + f3(A_nx + B_ny + C_nz + Д) = 0 (6.9)

tenglama L to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi tekislik tenglamasi bo’lishini isbotlash mumkin. Bundan tashqari, oldindan berilgan L to’g’ri chiziqdan o’tuvchi tekislik qanday bo’lishidan qat’iy nazar, ma’lum a va |3 sonlarda u (6.9) tenglama orqali aniqlanadi.

2. 
   a. Frontal so’rov uchun savollar
   

23. 
    Fazoda tekislikning umumiy tenglamasi?
    
24. 
    Tekislikning Normal tenglamasi?
    
25. 
    Ikki tekislik orasidagi burchak?
    

2. 
   6. Blits-so’rov uchun savollar
   

49. 
    Fazoda tekisliklarning parallelik sharti?
    
50. 
    Ikki tekislikning perpendikulyarlik sharti?
    
51. 
    Normal vektor nima?
    

2. 
   b. Og’zaki so’rov uchun savollar
   

49. 
    Bir nuqtadan o’tuvchi tekislik dastasi?
    
50. 
    Nuqta qachon tekislikda yotadi?
    
51. 
    Tekislikning normali nima?
    
52. 
    Bir to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi.
    

3. 
   Mustaqil ish uchun topshiriqlar
   

•