1-Mavzu: Kirish. Proyeksiyalash usullari. Reja

Proyeksiyalash usullari. Fazo elementlarini tekislikka tasvirlashda markaziy va parallel 
proeksiyalash usulidan foydalaniladi. Shu sababdan bu proeksiyalash usullarning har qaysisiga alohida 
to’xtalib o’tamiz. 

---

Markaziy proeksiyalash usuli. Faraz qilaylik, fazoda S, A, B, C nuqtalar va P1 tekislik berilgan 
bo’lsin (1- rasm). S nuqtani A, B va C nuqtalar bilan tutashtiramiz. SA, SB va SC proeksiyalovchi nurlar 
P1 tekislikni mos ravishda A1, B1, C1 nuqtalarda kesib o’tadi. Bu nuqtalar A, B, S nuqtalarning 
markaziy proeksiyalari hisoblanadi. 1-rasm Demak, S - nuqta proeksiyalash markazi, P1 - proeksiyalar 
tekisligi va SA, SB, SC - proeksiyalovchi nurlar deyiladi.1 Shakldan ko’rinib turibdiki, markaziy 
proeksiyalashda shaklning geometrik xossalari saqlanib, uning o’lchamlarigina o’zgaradi xolos. Ya’ni 
fazodagi ABC uchburchakning P1 tekislikdagi markaziy proeksiyasi A1 B1 C1 uchburchak-dan iborat, 
lekin o’lchamlari o’ziga teng bo’lmaydi. 
1.1-rasm 
Markaziy proyeksiyalashning xossalari. Markaziy proyeksiyalashda geometrik shakllar quyidagicha 
tasvirlanadi. 
1-xossa. Nuqtaning markaziy proyeksiyasi nuqta bo'ladi. 
2-xossa. SA nurda yotuvchi A, A1, A2, A3, nuqtalarning markaziy proyeksiyalari Ap nuqta bilan 
ustma-ust tushadi. 
3-xossa. Proyeksiyalash markazidan o'tmaydigan to'g'ri chiziq kesmasining proyeksiyasi kesma 
bo'ladi. 
1.2-rasm. 
Parallel proyeksiyalash usuli. Proyeksiyalar markazi S cheksizlikda joylashgan deb qaralsa, u holda 
proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqlar o’zaro parallel vaziyatni egallaydi. Shu yo’sinda qurilgan 
proyeksiyalarga parallel proyeksiyalar deyiladi. Yuqorida, ya’ni, markaziy proyeksiyalarda aytib 
o’tilgan xossalar parallel proyeksiyalarda ham saqlanib qoladi. Fazodagi har qanday nuqta faqat bitta 
parallel proyeksiyaga ega bo’ladi. 
Parallel proyeksiyalarda ham xuddi markaziy proyeksiyalardagidek, nuqtaning bitta proyeksiyasi 
uning fazodagi vaziyatini to’liq aniqlay olmaydi. 
1.3-rasm. 

---

1.3-rasmda S yo„nalishga parallel bo’lgan AA1, BB1, CC1 proyeksiyalovchi to’g’ri chiziqlar P1 
tekislik bilan kesishib fazodagi A, B, C nuqtalarning A1, B1, C1 geometrik o„rinlarini, ya’ni parallel 
proyeksiyalari hosil qiladi.n A1, B1, C1proyeksiyalar A, B, C nuqtalarning fazodagi vaziyatini to’liq 
aniqlay olmaydi. Parallel proyeksiyalarda ham nuqtaning fazodagi vaziyatini uning ikki yoki undan ortiq 
proyeksiyalari yordamida aniqlanadi. Masalan, 3-rasmda fazodagi A, B nuqtalarning fazodagi vaziyati 
ularning A1, A2, B1, B2 proyeksiyalari orqali berilgan. Parallel proyeksiyalarda proyeksiyalash 
yo’nalishining proyeksiyalar tekisligi bilan hosil qilgan burchagiga qarab to‘g‘ri va qiyshiq burchakli 
proyeksiyalar arqlanadi. Agar proyeksiyalash yo’nalishi proyeksiyalar tekisligi bilan o’tkir burchakni 
tashkil etsa, qiyshiq burchakli proyeksiyalar, to’g’ri burchakni tashkil etsa, to’g’ri burchakli yoki 
ortogonal proyeksiyalar hosil bo’ladi. Ortogonal proyeksiyalar parallel proyeksiyalarning xususiy xoli 
hisoblanadi. 
1.4-rasm. 
1.4-rasm Qiyshiq burchakli proyeksiyalar asosida aksonometrik proyeksiyalar quriladi, to’g’ri 
burchakli proyeksiyalar asosida esa texnik chizmalar tuziladi. 
Parallel proyeksiyalashning xossalari. Agar ob’ekt elementlari istalgan proyeksiyalash usuli bilan 
tekislikka proyeksiyalansa, ular asliga nisbatan ma’lum darajada o’zgarib proyeksiyalanadi. Lekin, 
proyeksiyalanayotgan ob’ektning o’zi bilan uning proyeksiyalari orasidagi o’zaro bog’liqlik hamda 
ularning asosiy geometrik xossalari saqlanib qoladi. Quyida parallel proyeksiyalarning asosiy 
xossalarini ko’rib chiqamiz.
1.5-rasm. 
1-xossa. Nuqtaning tekislikdagi proyeksiyasi nuqta bo’ladi.
2-xossa. Proyeksiyalash yo’nalishiga parallel bo’lmagan to’g’ri chiziqning tekislikdagi proyeksiyasi 
to’g’ri chiziq bo’ladi.
3-xossa. Agar nuqta to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lsa, nuqtaning proyeksiyasi ham to’g’ri chiziq 
proyeksiyasiga tegishli bo’ladi (4-rasm). 
4-xossa. Nuqta to’g’ri chiziq kesmasini qanday nisbatda bo’lsa, uning proyeksiyasini ham xuddi 
shunday nisbatda bo„ladi (4-rasm): 
5-xossa. Kesishuvchi to’g’ri chiziqlarning proyeksiyalari ham kesishgan bo’ladi. Kesishuv nuqtasi 
va uning proyeksiyasi bitta bog’lovchi chiziqda yotadi (1.5-rasm). 
6-xossa. Parallel to’g’ri chiziqlarning proyeksiyalari ham o’zaro parallel bo’ladi. To’g’ri chiziq 
kesmalarining nisbati ularning proyeksiyalari nisbatiga tengdir (1.6-rasm): 
7-xossa. To’g’ri burchakli proyeksiyalarda, agar to’g’ri burchakning bitta tomoni proyeksiyalar 
tekisligiga parallel bo’lsa, hamda ikkinchi tomoni ushbu tekislikka perpendikulyar bo’lmasa, bunday 
hollarda to’g’ri burchak shu tekislikka o’zgarmay proyeksiyalanadi (1.7-rasm).

---

8-xossa. Tekis shakl proyeksiyalar tekisligiga parallel bo’lsa, u shu tekislikka o’zgarmay asliga teng 
bo’lib proyeksiyalanadi.