1-mavzu. Matritsalar va ular ustida amallar Reja

 4-misol. 

Firma 5 turdagi mahsulotni ikkita korxonada ishlab chiqaradi. 

Firmaning ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimoti quyidagi jadvalda berilgan: 

Mahsulot 

turlari 

1  2 3 4 5 

1-korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlar 

miqdori 

139  160 205 340 430 

2-korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlar 

miqdori 

122  130 145 162 152 

 

 

Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilash natijasida ishlab chiqarishni 

17% ga oshirdi. Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin, 

firmaning bir oyda ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimoti qanday boʻladi? 

 Yechish. 

Firmaning ishlab chiqarish uskunalarini yangilamasdan oldingi 

ishlab chiqargan mahsulotlari taqsimotini quyidagi matritsa koʻrinishda yozish 

mumkin: 

139 160 205 340 430

.

122 130 145 162 152

P





 







 

Firma ishlab chiqarish uskunalarini yangilagandan keyin, firmaning bir oyda ishlab 

chiqargan mahsulotlari taqsimotini topish uchun, bu ishlab chiqarish matritsasini 

1,17 ga koʻpaytirish zarur boʻladi: 

139 160 205 340 430

1,17

1,17

122 130 145 162 152

P





 













 

162,63 187,2 239,85

397,8

503,1

.

142,74 152,1 169,65 189,54 177,84





 







 

 Matritsalarni 

qoʻshish, ayirish, ya’ni algebraik qoʻshish va matritsani songa 

koʻpaytirish amallariga matritsalar ustida chiziqli amallar deyiladi.  

 Matritsalarni 

qoʻshish va songa koʻpaytirish amallari quyidagi xossalarga 

boʻysinadi: 

 

1)

;

2)

(

) (

)

;

3) (

)

;

4) (

) ( ) ;

5)(

)

;

6)

;

7)

;

8)1

.

A B B A

A

B C

A B

C

k A B

kA kB

k nA

kn A

k n A kA nA

A

A

A

A

A A

  

























  

 

 

 

 

Bu yеrda 

, ,

A B С

 – bir xil o‘lchamli matritsalar, 



 matritsa 

, ,

A B С

 matritsalar 

bilan bir xil o‘lchamli nol matritsa, 

,

k n

 – ixtiyoriy haqiqiy sonlar. 

 

Faqat va faqat zanjirlangan matritsalar ustida koʻpaytirish amali bajariladi. 

m

p



  oʻlchamli 

( )

ij

A

a



 matritsaning 

p n



  oʻlchamli 

( )

jk

B b



 matritsaga 

koʻpaytmasi  deb elementlari 

1 1

2 2

...

ik

i

k

i

k

ip pk

c

a b

a b

a b





 

 kabi aniqlanadigan 

m n



  oʻlchamli 

( )

ik

С

c



 matritsaga aytiladi. Bu formuladan koʻrish mumkinki, 

A

 va 

B

 matritsalarning koʻpaytmasi 

C

 matritsadagi 

ik

c

 element 

A

 matritsaning 

i

-satrida joylashgan har bir elementni 

B

 matritsaning 

k

-ustunida joylashgan mos 

oʻrindagi elementga koʻpaytirish va hosil boʻlgan koʻpaytmalarni qoʻshish 

natijasida aniqlanadi. 

 Masalan, 

bizga 

umumiy 

holda 

11

12

21

22

31

32

a

a

A

a

a

a

a









 











 

va 

11

12

21

22

b

b

B

b

b





 





  

koʻrinishdagi matritsalar berilgan boʻlsin. Bu matritsalarni koʻpaytirish 

quyidagicha amalga oshiriladi: 

11

12

11 11

12 21

11 12

12 22

11

12

21

22

21 11

22 21

21 12

22 22

21

22

31

32

31 11

32 21

31 12

32 22

   

   

a

a

a b

a b

a b

a b

b

b

AB

a

a

a b

a b

a b

a b

b

b

a

a

a b

a b

a b

a b





































































. 

Endi buni aniq misollarda koʻrib chiqamiz.  

 5-misol. 

Quyidagi 

A

 matritsani

B

 matritsaga koʻpaytiring: 

3 1 1

1 1 -1

2 1 2 ,

2 -1 1 .

1 2 3

1 0

1

A

B













































 

 Yechish. 

1. Izlanayotgan 

C AB



 matritsaning 

11

c

 elementi 

A

 matritsaning 

birinchi satr elementlarini 

B

 matritsaning birinchi ustun mos elementlari bilan 

koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng, ya’ni  





11

1

3 1 1 2

3 1 1 2 1 1 6

1

c

 

 



      

 

 

 

. 

 2. 

Izlanayotgan 

C AB



 matritsaning birinchi satr va ikkinchi ustunining 

elementi 

A

 matritsaning birinchi satr elementlarini 

B

 matritsaning ikkinchi ustun 

elementlari bilan mos ravishda koʻpaytmalarining yigʻindisiga teng: 

12

1

(3 1 1)

1

3 1 1 ( 1) 1 0 2

0

c

 

 



        

 

 

 

. 

 

3. Birinchi satr va uchinchi ustun elementi  

13

1

(3 1 1) 1

3 ( 1) 1 1 1 1

1

1

c



 

 



        

 

 

 

 

kabi aniqlanadi. 

 

4. Izlanayotgan matritsaning ikkinchi satr elementlari 

A

 matritsaning 

ikkinchi satr elementlarining 

B

 matritsaning mos ravishda 1, 2, 3-ustun 

elementlari bilan koʻpaytmalarining yigʻindisi sifatida topiladi:  

21

22

23

2 1 1 2 2 1 6;

2 1 1 ( 1) 2 0 1;

2 ( 1) 1 1 2 1 1.

c

c

c



     

       

       

 

 5. 

C

 matritsaning uchinchi satr elementlari ham shunga oʻxshash topiladi:  

31

32

33

1 1 2 2 3 1 8;

1 1 2 ( 1) 3 0

1;

1 ( 1) 2 1 3 1 4.

c

c

c

      

        

       

 

Shunday qilib, 

6 2

1

6 1

1

8

1 4

C AB













 













. 

 6-misol. 

Quyidagi 

A

 matritsani

B

 matritsaga koʻpaytiring: 





1 2 3 4 ,

A



 

1

2

.

3

4

B

 

 

 



 

 

 

 

 Yechish. 

Bu matritsalar zanjirlangan boʻlganligi sababli ular ustida 

koʻpaytirish amali bajariladi.  







  

1

2

1 2 3 4

1 4 9 16

30 .

3

4

AB

 

 

 



   



 

 

 

 





1

1 2 3

4

2

2 4 6

8

1 2 3 4

.

3

3 6 9 12

4

4 8 12 16

BA

 





 





 









 





 





 





 

 Keltirilgan 

misoldan 

koʻrinib turibdiki, 

A

 va 

B

 matritsalarning koʻpaytmasi 

kommutativlik (oʻrin almashtirish) xossasiga ega emas, ya’ni 

AB BA



. Agar 

A

 va 

B

 bir xil tartibli kvadrat matritsalar boʻlsa, 

AB

 va 

BA

 koʻpaytmalarini topish 

mumkin. Agar 

A

 va 

B

 matritsalar uchun 

BA

AB



 





AB

BA



 munosabat o‘rinli 

bo‘lsa, u holda 

A

 va 

B

 matritsalar kommutativ (antikommutativ) matritsalar 

deyiladi. Masalan, 

E

 birlik matritsa ixtiyoriy 

A

 kvadrat matritsa bilan 

kommutativdir. Haqiqatan ham  

AE EA A





. 

 Matritsalarni 

koʻpaytirish amali quyidagi xossalarga ega: 

 

1)( )

(

)

;

2)(

)

;

3) (

)

;

4) (

) (

) .

kA B k AB

A kB

A B C

AC BC

A B C

AB AC

A BC

AB C



















 

Keltirilgan xossalardan toʻrtinchisini quyidagi misol yordamida tekshiramiz. 

 7-misol. 





1 2

A



, 

3 4

2 1

B





 







 va 

3 0 2

5 1 0

C





 





  

matritsalar berilgan 

boʻlsin: 

























3 4

1.

1 2

7 6 ,

2 1

3 0 2

(

)

7 6

51 6 14 ,

5 1 0

3 4 3 0 2

29 4 6

2.

,

2 1 5 1 0

11 1 4

29 4 6

(

)

1 2

51 6 14 .

11 1 4

AB

AB C

BC

A BC





































 











 







 



















 

Koʻrinib turibdiki, ikki xil hisoblash usulida ham natija bir xil. 

 

A

 kvadrat matritsani 





1

m m



 butun musbat darajaga ko‘tarish 

quyidagicha amalga oshiriladi: 

... .

m

m marta

A

A A

A

   



 

 Agar 

A

 matritsada barcha satrlari matritsaning mos ustunlari bilan 

almashtirilsa, u holda hosil boʻlgan 

T

A

 matritsa 

A

 matritsaga transponirlangan 

matritsa deyiladi. 

 Transponirlangan 

matritsalar quyidagi xossalarga ega: 

 

1)

,

2)( )

,

3(

)

,

4(

)

.

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

A

A

kA

kA

A B

A

B

AB

B A













 

Masalan, 

2

1

3

4

5

0

A











 











 boʻlsa, 

2 3 5

1 4 0

T

A





 









 boʻladi. 

 Agar

A

 kvadrat matritsa uchun 

T

A A



 munosabat oʻrinli boʻlsa, u holda bu 

matritsaga simmetrik matritsa

 

deyiladi. 

Masalan, 

4 5 2

5 8 3

2 3 7

A









 











 simmetrik matritsaning elementlari bosh diagonalga 

nisbatan simmetrik joylashgan. 

 

n -tartibli simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan 

(

1)

2

n n



 

ga teng, bunda 

n -natural son. 

 Agar 

A kvadrat matritsada 

T

A

A

   munosabat oʻrinli boʻlsa, bunday 

matritsaga qiya simmetrik matritsa deb ataladi. Masalan, 

0

5

2

5

0

3 .

2

3

0

A











 















 

 

n -tartibli qiya simmetrik matritsaning turli elementlari soni koʻpi bilan 

2

1

n

n

 

 formula yordamida topiladi, bunda 

n -natural son. 

 

5-ta’rif. 

Nolmas satrlarga ega  A  matritsada har qanday 

k

 – nolmas satrning 

birinchi noldan farqli elementi 





1

k

  – nolmas satrning birinchi noldan farqli 

elementidan oʻngda tursa, u holda  A  pog‘onasimon matritsa deyiladi. 

 

Masalan, 

1 0 2 3

5

0 0 4 0

1

0 0 0 7

0

A











 











 matritsa pog‘onasimon matritsadir. 

 

Iqtisodiy masalalarni matematik modellashtirishda, ya’ni, iqtisodiy 

muammoni matematik ifodalar yordamidagi ifodasida, matritsalardan keng 

foydalaniladi. Bunda muhim tushunchalardan biri texnologik matritsa 

tushunchasidir. Bu matritsa, masalan, bir nechta turdagi resurslardan bir nechta 

mahsulot turlarini ishlab chiqarishni rejalashtirish (programmalashtirish), 

tarmoqlararo balansni modellashtirish kabi muhim iqtisodiy masalalarda asosiy 

rolni oʻynaydi. 

 

Faraz qilaylik, oʻrganilayotgan iqtisodiy jarayonda 

n

  хil mаhsulоt ishlаb 

chiqаrish uchun 

m

  хil ishlаb chiqаrish fаktоrlаri (resurslar) zаrur boʻlsin. 

i -

mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish uchun  j -turdagi resursdan 

ij

a

 miqdori 

sarflansin. 

ij

a

 elementlardan tuzilgan 

m n

   oʻlchamli 

A

 matritsa texnologik 

matritsa deb ataladi. 

 1-turdagi 

mahsulotdan 

1

x

 miqdorda, 2-turdagi mahsulotdan 

2

x

 miqdorda, ..., 

n -turdagi mahsulotdan 

n

x

 birlik miqdorda ishlab chiqarilishi talab qilinsin. Bu 

rejani 

1

2

...

n

x

x

X

x

 

 

 



 

 

 

 ustun vektor (

1

n



  oʻlchamli matritsa) shaklida ifodalaymiz. U 

holda 1-turdagi resurs sarfi 

11 1

1

...

n n

a x

a x

 

 ga, ikkinchi turdagi resurs sarfi 

21 1

2

...

n n

a x

a x

 

 ga teng. Umumlashtiradigan boʻlsak, ishlab chiqarish rejasini 

bajarish uchun zarur boʻlgan  j -turdagi resurs sarfi 

1 1

...

j

jn n

a x

a x

 

 birlikka teng. 

Bu miqdorlarni ustun vektor sifatida yozsak aynan 

AX

 koʻpaytmani hosil qilamiz.  

 

j -mahsulotning bir birligining narxi 

j

c

 boʻlsin. Narxlar vektorini 

1

( ,..., )

n

C

c

c



 koʻrinishda ifodalaymiz. U holda 

CX

 koʻpaytma, matritsalarni 

koʻpaytirish qoidasiga koʻra, skalyar miqdor, ya’ni sondan iborat. Bu son ishlab 

chiqarishdan olingan daromadni ifodalaydi. 

 

i -turdagi resurs zahirasi miqdori 

i

b

 birlikka teng boʻlsin. Resurs zahiralari 

vektorini ustun vektor shaklida ifodalaymiz: 

1

2

...

m

b

b

B

b



























. U holda 

AX

B



 

tengsizlik ishlab chiqarishda resurs zahiralari hisobga olinishi zarurligini bildiradi. 

Bu vektor tengsizlik 

AX

 vektorning har bir elementi 

B

 vektorning mos 

elementidan katta emasligini bildiradi. 

AX

B



 shartni qanoatlantiruvchi 

X

 rejani 

joiz reja, deb ataymiz. Ma’nosidan kelib chiqadigan boʻlsak, har qanday 

X

 

rejaning elementlari musbat sonlardan iborat boʻlishi zarur. 

 8-misol. 

Korxona ikki turdagi transformatorlar ishlab chiqaradi. 1-turdagi 

transformator ishlab chiqarish uchun 5 kg temir va 3 kg sim, 2-turdagi 

transformator ishlab chiqarish uchun 3 kg temir va 2 kg sim sarflanadi. Bir birlik 

transformatorlarni sotishdan mos ravishda 6 va 5 sh.p.b. miqdorida daromad 

olinadi. Korxonaning omborida 4,5 tonna temir va 3 tonna sim mavjud. 

Texnologik matritsa, narxlar vektori va resurs zahirasini ifodalovchi vektorni 

tuzing. 

500

600

,

600

600



 





 





 



 rejalar joiz reja boʻla oladimi?