1. Nomanfiy butun son tushunchasi. Natural son va nol tushunchasining vujudga

5-variant

1.Nomanfiy butun son tushunchasi.Natural son va nol tushunchasining vujudga

kelishi haqida qisqacha tarixiy ma’lumot.

2. O’ndan farqli pozitsion sanoq sistemalaridagi sonlar ustida amallar.

1. Nomanfiy butun son￾lar to'plamini to'plamlar nazariyasi asosida qurish XIX asrda

G. Kantor tomonidan to'plamlar nazariyasi yaratilgandan so'ng

mumkin bo'ldi. Bu nazariya asosida chekli to'plam va o'zaro bir

qiymatli moslik tushunchalari yotadi.

1 -t a ’ r i f. Agar A va В to ‘plamlar orasida о ‘zaro bir qiymatli

moslik o ‘rnatish mumkin bo'lsa, bu to'plamlar teng quvvatli deyi￾ladi. A ~ В ко ‘rinishda yoziladi.

«Teng quwatlilik» munosabati refleksiv va tranzitiv bo'lgani

uchun u ekvivalentlik munosabati bo'ladi va barcha chekli

to'plamlarni ekvivalentlik sinflariga ajratadi. Har bir sinfda turli

elementli to'plamlar yig'ilgan bo'lib, ularning umumiy xossasi

teng quvvatli ekanligidir.

2-t a ’ r i f. Natural son deb, bo ‘sh bo ‘Imagan chekli teng quvvatli

to ‘plamlar sinfining umumiy xossasiga aytiladi.

Har bir ekvivalentlik sinfming umumiy xossasini uning biror

to‘plami to'la ifodalaydi. Har bir sinf xossasini ifodalovchi natural

son alohida belgi bilan belgilanadi. A to‘plam bilan aniqlanadigan

a son shu to‘plamning quvvati deyiladi va a = n(A) deb yoziladi.

Masalan, 3 soni uch elementli to'plamlar sinfming umumiy

xossasini bildiradi va u bu sinfning istalgan to‘plami bilan

aniqlanadi. 3 natural sonini ekvivalent to‘plamlar sinfming^ = {a;

b\ 5}, B = {qizil, sariq, yashil}, C = {□; V; 0} kabi vakillarini

ko‘rsatish bilan aniqlash mumkin.

Har bir chekli to‘plamga unga tegishli boimagan biror ele￾mentni q o ‘shib, berilgan to ‘plamga ekvivalent boim agan

2.to'plamni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib, o ‘zaro

ekvivalent boimagan to'plamlaming cheksiz ketma-ketligini va

shu to'plamlar bilan aniqlanadigan 1, 2, 3, ..., n, ... ko'rinishda

belgilangan natural sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz. Barcha

natural sonlar to'plamini A^= {1; 2; 3; ...} ko'rinishda yozishga

kelishamiz.

3-t a ’ r i f. Bo 'sh to ‘plamlar sinfming umumiy xossasiga esa son

0 soni deyiladi, 0 = «(0).

0 soni va barcha natural sonlar birgalikda nomanfiy butun

sonlar to'plamini tashkil qiladi. Bu to'plam N 0 ko'rinishida bel￾gilanadi. N q - {0}v N. Bu yerda, N — barcha natural sonlar

uvi. 0 ‘nlik sanoq siste￾masida xona birliklari o‘n, yuz, ming, o‘n ming, yuz ming va

hokazolar boiib, ular 1 0 , 102, 1 03, 104, ... ko'rinishda ifodalana￾di va unda har bir xonaning bitta birligi ikkinchi xonadan boshlab

o‘zidan oldingi xonaning o‘nta birligiga teng boiadi, ya’ni qo'shni

xona birliklari nisbati sanoq sistemasining asosi — 10 ga teng.

Sonlar 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan iborat 10 ta belgi yordamida

yoziladi va bu belgilar raqamlar deb ataladi. Son yozuvida har

bir raqam ma’lum xona birliklari sonini bildiradi.

Demak, a natural sonning o‘nlik sanoq sistemasidagi yozuvideb quydagi yig'indiga aytiladi.

а = а • 10" + а • 10""1 + ... + • 102 4- а • 10 + ап, п п — I 1 I I)7

bu yerda: ап, ..., о, — 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlar. an * 0

deb kelishiladi. Son yozuvini 0 lardan boshlash faqat ma’lum

sondagi raqamlardan iborat nomerlashda qo'llanadi, masalan:

lotoreya, pasport, avtomobil nomerlarida.

N = a *10" + a ,10"_l + ... + a, • 102 + a, • 10 + onson beril- n n- 1 2 1 0

gan bo'lsa, uni N - anan_x ...a,a0 ko'rinishda yozish mumkin. Son

yozuvidagi chiziq uni harfiy ko'paytmadan farqlash uchun

chiziladi. Son yozuvidagi o'ngdan birinchi uchta xona birlar

sinfini tashkil qiladi va unga birlar, o'nlar, yuzlar deb ataluvchi

xona birliklari kiradi. Keyingi uchlik minglar sinfini tashkil qilib,

xona birliklari minglar, o'n minglar va yuz minglar deb ataladi.

6-, 7-, 8-raqamlar millionlar sinfini tashkil qilib, xona birlikla￾ri millionlar, o'n millionlar va yuz millionlardan iborat bo'ladi.

Keyingi uch xona milliardlar, undan keyin billionlar va hokazo

sinflardan iborat bo'ladi. Sonni o'qishda chapdan o'ngga qarab

har bir raqam yoniga xona birligi nomi qo'shib aytiladi, shuni

aytish kerakki, o'zbek tilida o'nliklarni atash uchun maxsus

so'zlar: yigirma, o'ttiz, qirq, ellik, oltmish, yetmish, sakson va

to'qson qo'llanadi. O'nli sanoq sistemasida sonlarni yozish uchun

10 ta belgi, atash yoki o'qish uchun esa, masalan, milliongacha

bo'lgan sonlar uchun 20 ta atama kerak bo'ladi, bu raqamlar va

o'nliklar nomlari, yuz, ming kabi atamalardir. Ko'p xonali

sonlarni o'qishda million, milliard, billion kabi sinflar nomlari

ishlatiladi.

Bo'sh xona birliklari aytilmaydi, yozuvda 0 lar bilan to'ldiriladi.

Masalan:

412 = 4-102+ 1*10 + 2 (to'rt yuz o'n ikki).

4.4. 0 ‘nlik sanoq sistemasida sonlarni taqqoslash. O'nlik sa￾noq sistemasida sonlarni taqqoslash quyidagicha amalga oshiri￾ladi.

a = anlO" + an l10n_l + ... + o,10 + aQ(an Ф 0) va

b = bk10*+ Z>A._110A_I + ... + 6,10 + b0(bk * 0) sonlar berilgan

3. Butun nomanfiy sonlarning yig’indisini topish ta’rifidan foydalanib , quydagini isbotlang.

2 + 3 = 2 +(2 + 1) = (2+ 2)+ 1 = 4 + 1 = 5.