1°. Nuqtada uzluksiz bo’lgan funksiyaning xossalari

1-misol. Ushbu
(3)
munosabat isbotlansin.
◄ (2) munosabatdan foydalanib topamiz:

Xususan, bo`lganda bo`ladi. ►
2-misol. Ushbu

munosabat isbotlansin.
◄ Keltirilgan tenglikni isbotlash uchun deb olamiz. Unda da bo`ladi. SHuni hamda (3) munosabatni e`tiborga olib topamiz:
►
3-misol. Ushbu

munosabat isbotlansin
◄ Ravshanki,

va da bo`ladi. Unda

bo`lib, undan

bo`lishi kelib chiqadi. ►

Funksiyaning nuqta atrofidagi xossalari uning local xossalari deyiladi.

2⁰. Segmentda uzluksiz bo’lgan funksiyalarning xossalari (global xossalar). Aytaylik funksiya

segmentda aniqlangan bo’lsin.
5−teorema (Bolsano−Koshining birinchi teoremasi). Agar funk-siya segmentda uzluksiz bo’lib, segmentning chetki nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega bo’lsa, u holda shunday nuqta topiladiki, u nuqtada funksiya nolga aylanadi:

Bu teorema geometrik nuqtayi nazardan, uzluksiz egri chiziq o’qining bir tamonidan ikkinchi tamoniga o’tishda uni albatta kesib o’tishini ifodalaydi (29-chizma).

◄ funksiya da uzluksiz bo’lib, bo’lsin, ( bo’lgan hol ham shunga o’xshash qaralishi mumkin). segmentning nuqtasini olib, bu nuqtada funksiyaning qiymatini qaraymiz. Agar bo’lsa, deb olinib, unda va demak, teorama isbot etilgan bo’ladi. Agar bo’lsa, segmentlardan chetki nuqtalarida funksiya turli ishorali qiymatga ega bo’ladiganini olib, uni orqali belgilaymiz. Demak, bo’lib, segmentning uzunligi esa bo’ladi. So’ng segmentning nuqtasini olib, bu nuqtada ning

qiymatini qaraymiz. Agar
bo’lsa,
deb olinib, unda va bu holda teorema isbot bo’ladi. Agar bo’lsa, segmentlardan chetki nuqtalarida funksiya turli ishorali qiymatga ega bo’ladiganini olib, uni deymiz. Bu holda va segmentning uzunligi bo’ladi. Bu jarayonni davom ettiraveramiz. Natijada yo chekli sondagi qadamdan keyin segmentlarning o’rtalarini ifodalovchi nuqta sifatida shunday nuqtaga kelamizki, u nuqtada funksiya nolga aylanadi, demak teorema isbot bo’ladi, yoki jarayon cheksiz davom etib, ichma-ich joylashgan

segmentlar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Bu ketma-ketlikning umumiy hadi da bo’lib, ning uzunligi ( da) bo’ladi.
Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipiga asosan shunday nuqta mavjudki,
.
funksiyaning da uzluksiz bo’lishidan foydalanib topamiz:
va


va
Keyingi tengsizliklardan esa bo’lishi kelib chiqadi. ►
Isbot etilgan teorema ko’pgina tadbiqlarga ega, jumladan u ayrim tenglamalar yechimining mavjudligini ko’rsatish va ularni taqribiy yechish imkonini beradi. Masalan,

tenglamani qaraylik. Ravshanki, da uzluksiz. Jumladan, bu funksiya segmentda ham uzluksiz bo’lib, segmentning chetki nuqtalarida: bo’ladi.
5−teoremaga asosan funksiya oraliqning hech bo’lmaganda bitta nuqtasida nolga aylanadi, ya’ni berilgan tenglamaning oraliqda yechimi mavjud. segmentni va segmentlarga ajratib, ning chetki nuqtalarida bo’lishini topamiz. Demak, tenglamaning tekshirilgan oraliqda yotadigan kamida bitta yechimi bor, ya’ni
oraliqda yechim yotadi. Bu jarayonni davom ettiraverish natijasida tenglamaning taqribiy yechimi kerakli aniqlikda topilishi mumkin.
6−teorema (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi). Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lib, uning chetki nuqtalarida qiymatlarga ega va bo’lsa, va orasida har qanday son olinganda ham bilan orasida (kamida bitta) shunday c nuqta topiladiki,

bo’ladi.
◄Aniqlik uchun bo’lsin. Ihtiyoriy olaylik. Yordamchi funksiya tuzamiz. Ravshanki, bu funksiya segmentda uzluksiz va bu segmentning chetki nuqtalarida , qiymatlarni qabul qiladi. U holda Bolsano-Koshining birinchi teoremasiga ko’ra bilan orasida shunday nuqta topiladiki, ya’ni bo’ladi.
2−natija. Agar funksiya biror oraliqda (yopiq yoki ochiq, chekli yoki cheksiz) uzluksiz bo’lsa, u holda funksiyaning barcha qiymatlari to’plami biror oraliqdan iborat bo’ladi.
◄ to’plamning aniq quyi chegarasi va aniq yuqori chegarasi bo’lsin:

Bunda va lar chekli son yoki cheksiz bo’lishi mumkin. Aniq chegara-larning ta’rifiga binoan, uchun bo’ladi. Endi funksiya qiymatlari to’plami intervalni tashkil etishini ko’rsatamiz. Bu intervalda ixtiyoriy sonni olaylik: . U holda shunday va sonlar topiladiki,

bo’ladi. Bu va sonlarni deb qarash mumkin . Isbotlangan teoremaga asosan bilan orasida shunday son mavjudki, bo’ladi. Olingan son intervaldagi ixtiyoriy son bo’lganidan, bu intervaldagi barcha qiymatlarni funksiya qabul qilishi kelib chiqadi, ya’ni oraliqni tutash to’ldiradi. ►
7−teorema (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo’ladi.
◄Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni da uzluksiz bo’lgan funksiya unda chegaralanmagan bo’lsin. U holda da shunday nuqta topiladiki, shu nuqta uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. ketma-ketlikdan Bolsano−Veyershtrass lemmasiga asosan yaqinlashuvchi qismiy ketma−ketlik ajratish mumkin: funksiya da
uzluksiz. Unda bo’ladi. Bu esa ya’ni deb qilgan farazimizga ziddir. Demak, funksiya da chegaralangan.►
4−eslatma. Keltirilgan teorema shartidagi oraliqni segment bo’lishi muhimdir. Bu shart bajarilmasa, teorema o’rinli bo’lmasdan qolishi mumkin. Masalan, funksiya (0.1) oraliqda uzluksiz bo’lsa ham, shu oraliqda chegaralanmagan.
5−eslatma. Funksiyaning biror oraliqda chegaralangan bo’lishidan, uning shu oraliqda uzluksiz bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, Dirixle funksiyasi chegaralangan bo’lsa ham u uzluksiz emas.