1°. Nuqtada uzluksiz bo’lgan funksiyaning xossalari

8−teorema (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lsa, funksiya shu segmentda o’zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi, ya’ni da shunday va nuqtalar topiladiki,

tengliklar o’rinli bo’ladi.
◄Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko’ra funksiya da chegaralangan ekan, unda bu to’plamning aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralari mavjud. Biz ularni

orqali belgilaylik.
Endi segmentda funksiya va qiymatlarni qabul qiladigan nuqtalar mavjudligini ko’rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni funksiya segmentda o’zining aniq yuqori chegarasi ga erishmasin.U holda lar uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Quyidagi

funksiyani q1araylik. Ravshanki, bu funksiya segmentda uzluksiz. Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko’ra, funksiya da chegara-langan. Demak, lar uchun ushbu

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan

bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa ekaniga zid. Demak, funksiya segmentda o’zining aniq yuqori chegarasiga erishadi, ya’ni da shunday nuqta mavjudki, bo’ladi. Huddi shunga o’xshash funksiya segmentda o’zining aniq quyi chegarasiga erishishi ko’rsatiladi. ►
6−eslatma. Agar funksiya ochiq oraliqda (intervalda) uzluksiz bo’lsa, funksiya shu oraliqda o’zining aniq chegaralariga erishmasligi mumkin. Masalan, funksiya intervalda uzluksiz. Bu funksiya uchun bo’ladi. Ammo funksiya o’zining va qiymatlariga erishmaydi.
Odatda funksiyaning biror oraliqdagi xossalari uning global xossalari deb ataladi.
9−teorema (teskari funksiyaning mavjudligi). Agar funksiya oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat’iy o’suvchi (qat’iy kamayuvchi) bo’lsa, bu funksiya qiymatlaridan iborat oraliqda teskari funksiya mavjud bo’lib, u uzluksiz va qat’iy o’suvchi (qat’iy kamayuvchi) bo’ladi.
◄ funksiya oraliqda uzluksiz bo’lgani uchun uning qiymatlari oraliqni tutash to’ldiradi. Demak, har bir uchun da shunday topiladiki, bo’ladi. Bunday ga mos keladigan nuqta da yagona bo’ladi. Haqiqatan ham agarda oraliqda dan katta yoki kichik bo’lgan nuqta olinadigan bo’lsa, funksiya o’suvchi bo’lgani uchun ham dan katta yoki kichik bo’ladi. Shunday qilib, oraliqdan olingan har bir ga da unga mos keladigan yagona shunday topiladiki, bo’ladi. Demak, oraliqda teskari funksiya mavjud. Endi funksiyaning da qat’iy o’suvchi bo’lishini, ya’ni
bo’lganda tengsizlik o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik: bo’lganda bo’lsin. U holda funksiya da qat’iy o’suvchiligidan ya’ni bo’ladi. Bu esa deb olinishiga ziddir. Demak, funksiya da qat’iy o’suvchi bo’ladi.
Nihoyat, monoton funksiyaning uzluksizligi haqidagi teoremaga ko’ra funksiya oraliqda uzluksiz bo’ladi.
funksiya da kamayuvchi bo’lganda ham teorema yuqoridagidek isbotlanadi. ►