1. Nuqtaviy baho tushunchasi. Baholarni tuzish usullari: momentlar usuli va haqiqatga maksimal o‘xshashlik usuli

7-8-MA’RUZA MASHG’ULOTI.
NUQTAVIY BAHOLAR VA BAHOLARNI TUZISH USULLARI.

Reja:
1. Nuqtaviy baho tushunchasi.
2. Baholarni tuzish usullari: momentlar usuli va haqiqatga maksimal o‘xshashlik usuli.
3. Adabiyotlar.

Nuqtaviy baholash usullari. Statistik baholar tuzishning ikki usulini ko`rib chiqamiz.

1. Momentlar usuli. Faraz qilaylik, kuzatilmalari lardan iborat va taqsimot funksiyasi noma`lum parametr ga bog`liq bo`lgan t.m. bo`lsin. Birinchi bobda tanlanma momentlar tushunchalarini kiritdik va ularning ayrim xossalari bilan tanishdik. Xususan, KSQ ga asosan tanlanma momentlar tajribalar soni katta bo`lganida nazariy momentlarga istalgancha yaqin bo`lishligini bildik. Momentlar usuli asosida mana shu yaqinlik g`oyasi yotadi.
Faraz qilaylik tasodifiy miqdorning birinchi ta momentlari mavjud bo`lsin. Tabiiyki, ular noma`lum parametrning funksiyalari bo`ladilar. , tanlanma momentlarini mos ravishda , larda tenglashtirib r ta tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:

(1)
Mana shu tenglamalar sistemasini larga nisbatan yechib, yechimlarga ega bo‘lamiz. Shunday topilgan , statistikalar momentlar usuli bilan noma’lum , paramertlar uchun tuzilgan statistik baholar bo‘ladi.
Momentlar usuli bilan topilgan statistik baholar ayrim hollarda siljimagan, asosli va eng aniq baholar bo‘ladi.

2. Haqiqatga maksimal o‘xshashlik usuli. Kuzatilmalari lardan va umumlashgan zichlik funksiyasi dan iborat t.m.ni olaylik. Agar diskret t.m. bo‘lsa, ehtimolliklardan, uzluksiz t.m. bo‘lgan holda esa zichlik funksiyadan iborat bo‘ladi. Quyidagi funksiyaga haqiqatga maksimal o‘xshashlik funksiyasi deyiladi. Faraz qilaylik, funksiya yopiq sohada biror nuqtada eng katta qiymatga erishsin:

.

Haqiqatga maksimal o‘xshashlik funksiyasi eng katta qiymatga erishadigan qiymat noma’lum parametr uchun haqiqatga maksimal o‘xshashlik usuli bilan tuzilgan statistik baholar deb ataladi. Ularni quyidagi tenglamalr sistemasidan ham topish mumkin:

(2)

(2) tenglamalar sistemasi haqiqatga maksimal o‘xshashlik tenglamalri deyiladi.

Ko‘p ollarda (2) tenglamalar sistemasi o‘rniga quyidagi tenglamar sistemasini yechish qulay bo‘ladi:

(3)

Misol. Matematik kutilmasi va dispersiyasi noma’lum bo‘lgan, zichlik funksiyasi bo‘lgan normal qonunni olaylik. Haqiqatga maksimal o‘xshashlik funksiyasini tuzamiz:

Bundan

Avval (3) sistemaning birinchi tenglamasini qaraylik:

.

Soddalashtirgandan so‘ng tenglamaga kelamiz.

Endi (3) sistemaning ikkinchi tenglamasini tuzamiz:

.

Soddalashtirgandan so‘ng tenglamaga kelamiz.

Natijada va lar uchun

Ko‘rinishdagi statistik baholarni topamiz.

Demak, normal qonun uchun momentlar va haqiqatga maksimal o‘xshashlik usullari bilan tuzilgan statistik baholar aynan bir xil ekan.

NAZORAT SAVOLLARI
1. Statistik baholar tuzishning qanday usullari mavjud?
2. Tuzilgan statistik baholarning bir-biridan qanday farqi bor?

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. 
   Ш.Қ.Форманов “Эҳтимолликлар назарияси”, Тошкент “Университет” 2014 й.
   
2. 
   Ross, Sheldon М. A first course in probability. PearsonEducation, Inc. 2010.
   
3. 
   С.Ҳ.Сирожиддинов, М.Маматов «Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика», Тошкент, «Ўқитувчи», 1980 й.
   
4. 
   Robert B. Ash Basic probability theory. Dover Publications, Inc. 2008.
   
5. 
   Ross, Sheldon М. A first course in probability. Pearson Education, Inc. 2010.
   
6. 
   Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. М.: ЛКИ. 2010.
   
7. 
   Боровков А.А. “Математическая статистика”, Москва “Лань” 2010 г. Стр 705.
   
8. 
   А.А.Абдушукуров, Т.А.Азларов, А.А.Джамирзаев «Эҳтимоллар назарияси ва математик статистикадан мисол ва масалалар тўплами» Тошкент, «Университет», 2003 й.
   

INTERNET SAYTLAR


http://www.nsu.ru/icem/grants/etfm/ ;
http://www.lib .homelinex.org/math/;
http://www.eknigu.com/lib/mathematics/;