1. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari. Reja

Lemma 2. (Gronuoll lemmasi)
Agar u(x) funksiya intervalda manfiymas, uzluksiz bo‘lib, shu intervalda ushbu
(9)
integral tengsizlikni qanoatlantirsa, shu u(x) funksiya uchun quyidagi

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi
Xususiy holda agar A=0 bo‘lsa u(x)=0.
Ushbu lemmaning isboti belgilash kiritib, (9) ga qo‘yish bilan isbotlanadi.
Yuqoridagi ikki lemmadan foydalanib, teoremani isbotlash mumkin.
Pikar teoremasining isboti ,mavjudligi.

1. 
   Lemmaga ko‘ra (4), (5) masala o‘rniga unga ekvivalent bo‘lgan
   

integral tenglamani yechish masalasini ko‘ramiz. Yechimni ketma-ket yaqinlashish usuli bilan izlaymiz. |x-x­₀|h intervalda aniqlangan funksiyalar ketma-ketligini tuzamiz.

Bu funksiyalarning grafigi ko‘rilayotgan |x-x­₀|h intervalda to‘g‘ri to‘rt burchakdan chiqib ketmasligini asoslab qo‘yamiz, yaoni n=0,1,2,… uchun (x_n,y­_n)D­_h bo‘lib n=0 bo‘lsin, unda (x₀,y₀)D­_h
n=1 da

Xuddi shunday n=2 da
,
ixtiyoriy n uchun
,
eslatib o‘tamizki bunda biz quyidagi formuladan foydalandik
.
Shunday qilib, ko‘rilgan funksiyalar ketma-ketligi |x-x­₀|h oraliqda aniqlangan va uzluksiz. Bu funksional ketma-ketlikni tekis yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz.
Ushbu funksional qatorni qaraylik
(10)
Uning n - xususiy yig‘indisi S_n(x)=y_n(x) va
bo‘lib, yaqinlashuvchi.
Matematik analiz fanidagi Dalamber alomatining
formulasi
Xulosa qilib shuni aytishimiz mumkinki sonli qatorni yaqinlashuvchiligidan Veyershtrass teoremasiga ko‘ra (10) funksional qator y=(x) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi va limit funksiyasi ham uzluksiz funksiya bo‘ladi.
Endigi bosqichda y=(x) limit funksiya (4), (5) masalaning yechimi ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun n da
(11)
tenglikdan
(12)
tenglik kelib chiqishini isbotlash zarur.
Ravshanki,

y_n(x) ketma-ketlik (x) funksiyaga tekis yaqinlashganligidan ixtiyoriy >0 berilganda ham shunday n₀ nomer topiladiki n>n₀ bo‘lganda

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Shuning uchun
yaoni

tengsizlik o‘rinli, bundan

bu esa (11) tenglikdan (12) kelib chiqishini ko‘rsatadi.
Yuqorida ko‘rsatilgan isbotlardan qisqa qilib shuni aytish mumkin, (4), (5) Koshi masalasining yechimini mavjudligini |x-x­₀|h oraliqda 1- lemmaga ko‘ra integral tenglamaga keltiriladi hamda bu integral tenglamaning yechimi ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida mavjudligini va bu funksiya limit funksiya ekanligini ko‘rsatiladi.
Endi (4), (5) Koshi masalasining yechimi mavjud bo‘lsa, yagona ekanligini ko‘rsatamiz.
Masala yechimining yagonaligi: Faraz qilaylik (4), (5) masalasining ikkita yechimi mavjud bo‘lsin. (x) va (x) lar |x-x­₀|h intervalda aniqlangan bo‘lib, |x-x­₀|h interval ularning umumiy aniqlanish intervali bo‘lsin.
Shu intervalda (x)(x) ekanligini ko‘rsatamiz. (x) va (x) yechim bo‘lganligi uchun
.
Bundan interval uchun
,
yaoni
Bu tengsizlikka Gronuoll lemmasini A=0 deb olib, qo‘llasak, u holda (x)=(x) ekanligi kelib chiqadi, yaoni lemmadagi u(x) funksiya sifatida u(x)=(x)-(x) ayirmani olib, lemmadagi tengsizlikda A=0 bo‘lsa u(x)=0 bo‘ladi yoki (x)=(x)
Biz x uchun ko‘rsatdik. Shunga o‘xshash x uchun ham muloxaza yuritish mumkin. Shunday qilib, Pikar teoremasi to‘la isbot