1. O’q ustida yo’nalgan kesmalar 1-ta’rif. Yo’nalishi aniq bo’lgan to’g’ri chiziq o’q

Ikki nuqta orasidagi masofa

Faraz qilaylik nuqtalar to’g’ri chiziqdagi dekart koordinatalari sistemasida yotgan bo’lsin.

1-teorema. yo’nalgan kesmaning kattaligi ga teng, ya’ni,
(1)


Isbot. O’q ustida nuqtalarni qaraymiz. 2.P.dagi 1-teoremaga ko’ra
(2)
Agar ekanligini nazarga olsak (2) dan (1) kelib chiqadi.
Natija. nuqtalar orasidagi masofa quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin:
= (nima uchun?)
Misol. Sonlar o’qida nuqtalar berilgan. ga nisbatan nuqtaga simmetrik bo’lgan nuqtaning koordinatasini toping.
Yechish. kesmaning uzunligini aniqlaymiz:

Demak, nuqta nuqtadan 9 birlik uzoqda yotadi. nuqta nuqtaga nisbatan nuqtaga simmetrik bo’lishi uchun bu nuqta xam dan ga qarama-qarshi tomonda 9 birlik masofada yotishi kerak.
Demak, nuqtaning koordinatasi (-4) bo’lgani uchun nuqtaning koordinatasi -9-4= -13 ya’ni: = (-13) (5-chizma)
(-13) (-4) (5)
0 x
5-chizma

3. 
   Kesmani berilgan nisbatda bo’lish
   

Boshlang’ich nuqtasi oxirgi nuqtasi bo’lgan kesmani = ( ) nisbatda bo’luvchi nuqtaning koordinatasini topamiz (6-chizma).

x
6-chizma
Malumki, . U xolda = . Bundan ₂- = - ₁, ₁+ ₂= (1+ ),

Demak,

(1)
Bu esa nuqtaning koordinatasidir. Agar >0 bo’lsa, va kesmalarning yo’nalishi bir xil, <0 bulsa, qarama-qarshi buladi va aksincha.
Agar va ikki ixtiyoriy nuqta va kesmaning o’rtasi bo’lsa, u holda


(2)

(2) formula (1) formuladan =1 bo’lganda hosil bo’ladi. Demak, kesma o’rtasining koordinatasi uning koordinatalari yig’indisining yarmiga teng.

Misol. Uchlari (-2) va (19) nuqtalarda bo’lgan kesmani va nuqtalar teng uch bo’lakka bo’ladi. va nuqtalarning koordinatalarini toping.
Yechish. Berilgan nuqtalarni sonlar o’qida tasvirlaymiz (7-chizma).



(-2) (5) (12) b (19)

7-chizma
1. Shart bo’yicha C nuqta AD kesmani =1/2 nisbatda bo’ladi. (1) formulaga ko’ra x₁=-2, x₂=19, deb olsak, nuqtaning koordinatasi:

yoki X_c = 5
2. nuqta kesmani =2/1 nisbatda bo’ladi. (1) formulaga =-2, =19, =2 qiymatlarni qo’yib nuqtaning X_D koordinatasini topamiz:
X_D =12