1. O’q ustida yo’nalgan kesmalar 1-ta’rif. Yo’nalishi aniq bo’lgan to’g’ri chiziq o’q

1-misol. Koordinata boshi (4;-3) nuqtaga ko’chirilgan. (5;2) nuqtaning yangi sistemadagi koordinatalari qanday bo’ladi?
Yechish. larga ko’ra

Demak, nuqtaning yangi koordinatalari 1 va 5 bo’ladi.
2-misol. Agar koordinata boshi va o’qlarning yo’nalishi o’zgartirilmasdan birlik kesma (masshtab) 3 marta orttirilgan (yoki kamaytirilgan) bo’lsa, (9; -3) nuqtaning yangi koordinatalari qanday bo’ladi?
Yechish. a) K=3 bo’lgani uchun =3, =-1.
Demak, nuqtaning yangi koordinatalari 3 va –1 bo’ladi.
b) bo’lgan holda esa
=9: =27, =-3: =-9. Demak, bu holda nuqtaning yangi koordinatalari 27 va –9 bo’ladi.

3. 
   Ikki nuqta orasidagi masofa
   

Faraz qilaylik to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida A(x₁,y₁) va B(x₂,x₂) nuqtalar berilgan bo’lib, bunda , bo’lsin (5-chizma).
y

0 x

5-chizma

A va B nuqtalar orasidagi masofani topish talab etiladi. Ko’rinib turibdiki, A va B nuqtalar orasidagi masofa, yo’nalgan kesma uzunligiga teng. Bu esa o’z navbatida to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga teng.

Shu gipotenuza uzunligini topsak, masala yechilgan bo’ladi.
Uchburchakning o’qiga parallel tomonining uzunligi, kesmaning o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani ga teng. Xuddi shuningdek, uning o’qiga parallel tomonining uzunligi kesmaning Oy o’qiga proyeksiyasi uzunligiga, yani ga teng.
To’g’ri burchakli uchburchakka Pifagor teoremasini tadbiq etib quyidagini topamiz:

Demak, nuqtalar orasidagi masofa
(1)
formula yordamida topiladi.
Garchi, nuqtalar orasidagi masofani beruvchi (1) formula , dan iborat farazda chiqarilgan bo’lsada, u boshqa hollarda ham o’z kuchini saqlaydi. Haqiqatdan ham, , bo’lsa, = ga teng. Agar , bo’lsa = ga teng , bo’lsa A va B nuqtalar ustma-ust tushadi va =0 bo’ladi (6-chizma).

y y

0 x 0 x

6-chizma


Misol. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan (-1; 2), (5; 6), va (1;3). Uning tomonlari uzunliklarini toping (7-chizma).
y (5;6)

1) AC tomonning uzunligini topamiz:

Xuddi shuningdek
2)




(1;3)


(-1;2)


0 x 7-chizma

3.