1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

, b_n

] kesma uzunligi ^{B − A}
₂n
ga teng

bo'lib, u {x_n} ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlarini o'z ichiga oladi, bundan tashqari, b_n nuqtadan o'ngda ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari
yotadi.
Ichma-ich joylashgan kesmalar prinsipiga (2.3.1 - Teorema) asosan, [a, b] ning barcha kesmalariga tegishli bo'lgan c nuqta mavjud va yagona. Aynan shu c nuqta
{x_n} ketma-ketlikning yuqori limiti bo'lishini isbotlaymiz. Buning uchun c nuqtaning ixtiyoriy ε-atrofini qaraymiz. Ravshanki, biror nomerdan boshlab (ya'ni b_n −a_n < ε

bo'lgan nomerdan boshlab), barcha [a_n, b_n] kesmalar ana shu ε-atrofda yotadi. Shunday ekan, quyidagi tasdiqlar o'rinli bo'ladi:

1. 
   c nuqtaning ε-atrofida qaralayotgan ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari yotadi;
   
2. 
   c nuqtani ε-atrofining o'ngida qaralayotgan ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotadi.
   

{ }
Demak, c nuqta x_n ketma-ketlikning eng katta limit nuqtasi ekan, bundan,

2. 
   - Tasdiqqa ko'ra, c soni ushbu ketma-ketlikning yuqori limiti bo'lishi kelib chiqadi.
   

Quyi limitning mavjudligi xuddi shunga o'xshash ko'rsatiladi. Q.E.D.
Isbotlangan teoremaning natijasi sifatida Bol'sano-Veyershtrass teoremasini mumtoz ko'rinishida keltiramiz.

2. 
   - Teorema (B.Bol'sano, K. Veyershtrass.) Har qanday chegaralangan
   

ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Isbot 2.4.1 - Teoremadan bevosita kelib chiqadi.

4. 
   Yuqori va quyi limitlarning o'zaro teng bo'lishi ketma-ketlikning yaqinlashishini anglatadi.
   

2. 
   - Teorema. Ketma-ketlik faqat va faqat chegaralangan bo'lib, uning yuqori
   

limiti quyi limitiga teng bo'lgandagina yaqinlashadi.

{ }
Isbot. 1) Faraz qilaylik, x_n ketma-ketlik yaqinlashsin. U holda, birinchidan,

{ }
2.1.7 - Tasdiqqa ko'ra, bu ketma-ketlik chegaralangan bo'ladi. Ikkinchidan, yaqinlashuvchi ketma-ketlikning istalgan qismiy ketma-ketligi, ravshanki, ketma-ketlik limitiga yaqinlashadi. Shuning uchun, x_n ketma-ketlik yagona limit nuqtaga ega bo'lib,
uning yuqori limiti quyi limitiga teng bo'ladi.

{ }

{ }

{ }
2) Endi, faraz qilaylik, x_n chegaralangan bo'lib, uning yuqori va quyi limitlari bitta a soniga teng bo'lsin. a yuqori limit bo'lganiga ko'ra, istalgan ε > 0 uchun a nuqta ε-atrofining o'ngida x_n ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotishi mumkin. Endi, a nuqta quyi limit bo'lgani uchun, a nuqta ε- atrofining chapida ham ketma-ketlikning, oshib borsa, chekli sondagi elementlari yotishi mumkin. Demak, biror nomerdan boshlab, {x_n} ketma-ketlikning barcha
elementlari a nuqtaning ε-atrofida yotar ekan. Bu esa x_n ketma-ketlikning a
soniga yaqinlashishini anglatadi.