1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

1

2.2.1 - Misol. x_n =

n

qat'iy kamayuvchi ketma-ketlikdir.

2.1.1 - Tasdiqda har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo'lishini
ko'rdik. Buning teskarisi o'rinli emasligiga esa chegaralangan va uzoqlashuvchi

−
x_n = ( 1)ⁿ⁺¹ ketma-ketlik misolida ishonch hosil qilgan edik.
Bu misolning o'ziga xosligi shundan iboratki, uning hadlari nol atrofida goh o'sib va goh kamayib o'zgarmas amplituda bilan tebranadi. Boshqacha aytganda, bu ketma-ketlik monoton emas. Ma'lum bo'lishicha, agar ketma-ketlik monoton bo'lsa, uning yaqinlashishi uchun chegaralangan bo'lishi zarur va yetarli ekan.

2. 
   Shu munosabat bilan yuqoridan yoki quyidan chegaralangan ketma-ketlik tushunchasini kiritamiz.
   

Ta'rif. Agar shunday B soni mavjud bo'lsaki, barcha n nomerlar uchun
x_n ≤ B (2.2.5)

{ }
shart bajarilsa, x_n ketma-ketlikka yuqoridan chegaralangan deyiladi.
Xuddi shu singari quyidan chegaralangan ketma-ketlik aniqlanadi.
Ta'rif. Agar shunday A soni mavjud bo'lsaki, barcha n nomerlar uchun
x_n ≥ A (2.2.6)

{ }
shart bajarilsa, x_n ketma-ketlikka quyidan chegaralangan deyiladi.

{ }
Har qanday monoton ketma-ketlik hech bo'lmaganda bir tarafdan chegaralangan bo'ladi. Haqiqatan ham, agar x_n ketma-ketlik o'suvchi bo'lsa, ixtiyoriy n nomer uchun
x_n ≥ x₁

tengsizlik o'rinli bo'ladi, ya'ni ketma-ketlik quyidan x₁ soni orqali chegaralangan.

Agar {x_n} ketma-ketlik kamayuvchi bo'lsa, ixtiyoriy n nomer uchun
x_n ≤ x₁
tengsizlik bajariladi, ya'ni ketma-ketlik yuqoridan x₁ soni orqali chegaralangan.
Shunday qilib, monoton ketme-ketlikning chegaralanganligini talab qilmoqchi bo'lsak, u o'suvchi bo'lganda yuqoridan chegaralanganlikni (chunki quyidan u shundoq ham chegaralangan), kamayuvchi bo'lganda esa quyidan chegaralanganlikni talab qilish yetarli.
Navbatdagi teoremani biz an'anaviy ko'rinishda keltiramiz.

1. 
   - Teorema. Yuqoridan chegaralangan har qanday o'suvchi ketma-ketlik yaqinlashadi.
   

{ }
Isbot. Shartga ko'ra, x_n ketma-ketlik o'suvchi va yuqoridan chegaralangan
bo'lsin, ya'ni (2.2.1) va (2.2.5.) shartlar bajarilsin.
E simvoli orqali {x_n} ketma-ketlikning qiymatlar to'plamini , ya'ni sonlar o'qining barcha x_n nuqtalardan iborat qismiy to'plamini belgilaymiz. (2.2.5) ga ko'ra, E
to'plam yuqoridan chegaralangan va shuning uchun, 1.4.1 - asosiy teoremaga binoan, bu to'plamning aniq yuqori chegarasi mavjud.
Mana shu aniq yuqori chegarani
a = sup E

→
deb belgilab, x_n a ekanini isbotlaymiz. Aniq yuqori chegaraning ta'rifiga ko'ra,
x_n ≤ a, n = 1, 2, 3, ... (2.2.7)
Yana o'sha aniq yuqori chegaraning ta'rifiga asosan ( § 1.2, (ii) shartga qarang), istalgan ε > 0 uchun E to'plamning a − ε nuqtadan o'ngda joylashgan kamida bitta nuqtasi mavjud. Agar x_N shunday nuqta bo'lsa,