1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

a − ε < x_N

tengsizlik bajariladi.

{ }
x_n o'suvchi ketma-ketlik bo'lgani uchun bu tengsizlikni ketma-ketlikning nomeri
N dan katta bo'lgan barcha elementlari ham qanoatlantiradi, ya'ni
a − ε < x_n, n ≥ N. (2.2.8)

≥
Shunday ekan, n N bo'lganda har ikkala (2.2.7) va (2.2.8) tengsizliklar bir vaqtda bajariladi, ya'ni

Bundan chiqdi,
a − ε < x_n ≤ a, n ≥ N.
|x_n − a| < ε, n ≥ N

{ }
tengsizlik ham o'rinli ekan. Bu tengsizlik esa x_n ketma-ketlikning a soniga yaqinlashishini anglatadi.

Q.E.D.

Natija. Quyidan chegaralangan har qanday kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashadi.

−

{ }
Haqiqatan, quyidan chegaralangan har qanday kamayuvchi y_n ketma-ketlik yaqinlashishini ko'rsatish uchun, x_n = y_n ketma-ketlik o'suvchi va yuqoridan chegaralangan ekanligini qayd etib, unga 2.2.1 - Teoremani qo'llash yetarli.

{ }
Eslatma. Agar a_n ketma-ketlik o'suvchi bo'lib, biror a songa yaqinlashsa, u holda quyidagi tengsizliklarning bajarilishi turgan gap:
a_n ≤ a, n = 1, 2, 3...
Xuddi shunga o'xshash, {b_n} ketma-ketlik kamayuvchi bo'lib, biror b songa yaqinlashsa,
b_n ≥ b, n = 1, 2, 3...
tengsizliklar o'rinli bo'ladi.

3. 
   Yuqoridagi 2.2.1 - Teoremani qo'llashga misol keltiramiz.
   

2. 
   - Misol. Quyidagi
   

n

n

k!

0!

1!

2!

n!
_{s =} ^Σ 1 ₌ 1 ₊ 1 ₊ 1 _{+ ... +} 1

(2.2.9)

ketma-ketlikning yaqinlashishini ko'rsatamiz.

1. 
   O'z-o'zidan ko'rinib turgan
   

1

s_n+1 = s_n + _{(n + 1)!} (2.2.10)

{ }
tenglikdan s_n+1 > s_n tengsizlikni olamiz, ya'ni s_n ketma-ketlik o'suvchi ekan.

2. 
   Endi bu ketma-ketlining yuqoridan chegaralangan ekanini isbotlaymiz. Buning
   

uchun
1
s_n ≤ 3 − _n! , n ∈ N, (2.2.11)

tengsizlik bajarilishini ko'rsatish yetarli.
(2.2.11) bahoni matematik induktsiya metodi orqali isbotlaymiz. Agar n = 1
bo'lsa, bu baho tenglikka aylanib, u haqiqatda o'rinli bo'ladi.
Endi (2.2.11) bahoni n = k da to'g'ri deb, uning n = k + 1 da ham bajarilishini ko'rsatish oson. Haqiqatan, farazimizga ko'ra, (2.2.10) tenglikdan
1 1 1 k 1
^{sk+1 = sk +} (k + 1)! ^{≤ 3 −} k! ⁺ (k + 1)! ^{= 3 −} (k + 1)! ^{≤ 3 −} (k + 1)!
hosil bo'ladi, ya'ni (2.2.11) tengsizlik n = k + 1 uchun ham to'g'ri ekan.

∈
Demak, matematik induksiya prinsipiga asosan, (2.2.11) baho istalgan n N da bajariladi.

{ }
Shunday qilib, s_n ketma-ketlikning o'suvchi va yuqoridan chegaralangan ekanini ko'rsatdik. Bundan chiqdi, u yaqinlashuvchi bo'ladi.
(2.2.9) ketma-ketlik limiti e harfi bilan belgilanadi. E'tibor bering, bu son uchun (2.2.9) tenglik va (2.2.11) tengsizlikdan bevosita
2 ≤ e ≤ 3
baho kelib chiqadi.

4. 
   Navbatdagi misolda shunday ketma-ketlik keltirilganki, agar biz uning yaqinlashishini isbotlay olsak, u holda uning limiti oson topiladi.
   

3. 
   - Misol. Quyidagi
   

n+1

2

n

x_n

0
x = ¹ x + ^b , x = c, (2.2.12)



{ }
munosabat bilan aniqlangan x_n ^∞_n=0 ketma-ketlik istalgan c > 0 boshlang'ich qiymat uchun yaqinlashishini isbotlang.

Shuni aytish kerakki, bunday berilgan ketma-ketlikda x_n+1 ni hisoblash uchun oldingi x_n ga qaytib, (2.2.12) formuladan foydalanish zarur. Shuning uchun, bunday aniqlangan ketma-ketliklar qaytadigan yoki rekurrent (yunoncha recurrere - qaytmoq so'zidan olingan) ketma-ketlik va (n + 1) - elementni birinchi n ta element orqali aniqlaydigan formula rekurrent formula deyiladi.

√
1) Avval, x₀ > 0 ni har qanday tanlaganda ham {x_n}^∞_n=1 ketma-ketlik quyidan
b son bilan chegaralanganini ko'rsatamiz, ya'ni birinchi nomerdan boshlab
x_n ≥ ^√b, n = 1, 2, 3, ... (2.2.13)
tengsizlik bajarilishini isbotlaymiz.

= 1 + ₂

t − ^√_t

≥ 1, t > 0, (2.2.14)
Buning uchun istalgan musbat haqiqiy t soni uchun o'rinli bo'lgan

t +
t
_{1 1}

_{1 √}
1 ²

tengsizlikdan foydalanamiz.

≥

b. (2.2.11)
U holda (2.2.12) da mos almashtirishlarni bajarsak, talab qilingan bahoni olamiz:

^√_b + _x

^xn+1 ^=
√b x_n

_√b ! _√

{ }
2) Endi x_n ^∞_n=1 ketma-ketlikning kamayuvchi ekanini ko'tsatamiz. (2.2.12) rekurrent formulaga ko'ra,

x_n −

=

n
2x_n

x_n − x_n+1 =

x_n

≥ 0.
1 b x² − b

Bundan chiqdi, talab qilingan x_n+1 ≤ x_n, n = 1, 2, 3, ... tengsizlik bajarilar ekan.

{ }
Demak, 2.2.1 - Teoremaning natijasiga asosan, x_n ketma-ketlik biror haqiqiy
a soniga yaqinlashadi. Shunday ekan, (2.2.12) rekurrent formulada limitga o'tsak,

2

a
a = ¹ a + ^b

tenglikni olamiz. Bundan a = ^√b ekani kelib chiqadi. Ixtiyoriy musbat sonning

kvadrat ildizini taqribiy hisoblashning ushbu usulini buyuk ingliz olimi I. N'yuton taklif qilgan.
Qayd qilamizki, (2.2.12) rekurrent formula kvadrat ildizni taqribiy hisoblashning zamonaviy kalkulyatorlarda qo'llashga qulay algoritmini beradi.

2.3. Ichma-ich joylashgan kesmalar prinsipi

Sonlar o'qida ixtiyoriy ikki [a₁, b₁] va [a₂, b₂] kesmalarni qaraymiz. Agar

a₁ ≤ a₂ < b₂ ≤ b₁
bo'lsa, [a₂, b₂] kesma [a₁, b₁] kesma ichida joylashgan deymiz.
Ravshanki, [a₂, b₂] kesmaning [a₁, b₁] kesma ichida joylashishi uchun [a₂, b₂]
kesmaning har bir nuqtasi [a₁, b₁] kesmaga ham tegishli bo'lishi, ya'ni
[a₂, b₂] ⊂ [a₁, b₁]

bo'lishi zarur va yetarlidir.

Navbatdagi teorema cheksiz ko'p ichma-ich joylashgan kesmalar ketma-ketligi haqida bo'lib, u bir qator tadbiqlarga egadir.

⊂
2.3.1 - Teorema (ichma-ich joylashgan kesmalar prinsipi). Agar [a_n, b_n]

R kesmalarning har biri o'zidan avvalgisini ichiga joylashgan, ya'ni:
[a_n+1, b_n+1] ⊂ [a_n, b_n] (2.3.1)
bo'lib, ularning uzunligi nolga intilsa, bu kesmalar ketma-ketligining barchasiga tegishli bo'lgan c nuqta mavjud va yagona bo'ladi.
Isbot. Ravshanki, (2.3.1) munosabat
^an ^{≤ a}n+1 ^{< b}n+1 ^{≤ b}n
tengsizliklarning bajarilishini anglatadi.

{ } { }
Demak, a_n ketma-ketlik o'suvchi va b_n ketma-ketlik esa kamayuvchi ekan.
Bundan tashqari, kesmaning ta'rifiga ko'ra, istalgan n uchun
a_n < b_n (2.3.2)
tengsizliklar bajariladi.

{ } ≤
Modomiki b_n ketma-ketlik kamayuvchi ekan, b_n b₁ tengsizlik bajariladi va (2.3.2) ga ko'ra,

a_n < b₁

bo'ladi.

{ }
Bundan chiqdi, {a_n} ketma-ketlik chegaralangan bo'lib, 2.2.1 - Teoremaga ko'ra, u yaqinlashuvchi bo'ladi. Xuddi shunga o'xshab, b_n ketma-ketlikning quyidan chegaralangan va yaqinlashuvchi ekanini ko'rsatish mumkin.
Shartga ko'ra, kesmalarning uzunligi nolga intiladi, ya'ni
(b_n − a_n) → 0, n → ∞.

{ } { }
Shunday ekan, a_n va b_n ketma-ketliklar yagona limitga intiladi. Biz bu limitni c harfi bilan belgilaymiz, ya'ni
c = lim a_n = lim b_n.
n→∞ n→∞
Endi, 2.2.1 - Teoremadan so'ng keltirilgan eslatmaga ko'ra,
a_n ≤ c ≤ b_n
tengsizlik bajarilishini qayd etamiz. Bu tengsizlik esa, o'z navbatida, c nuqtaning har bir [a_n, b_n] kesmaga tegishli ekanini anglatadi. Bundan tashqari, c nuqtaning yagona ekani ikki turli nuqta bir vaqtning o'zida uzunligi istalgancha kichik bo'lgan kesmalarga tegishli bo'la olmasligidan kelib chiqadi.