1. Sonli ketma-ketlik ta’rifi va umumiy tushunchalar. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli ketma-ketliklar

Funksiya limitining asosiy xossalari:

1) yig’indining limiti. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining limiti, qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya'ni va funksiyalarning dagi limitlari mavjud bo’lsa,

(4)

2) chekli sondagi funksiyalar ko’paytmasining limiti funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya'ni

(5)

Natija: O’zgarmas ko’paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni,

(6)

3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti no’ldan farqli bo’lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni bo’lsa,

(7)

bo’ladi.

7. Aniqmasliklar.

limitni hisoblashda funksiyalar ch.kich.f. lar bo’lsa, nisbatga da (0/0) ko’rinishdagi aniqmaslik deyiladi. funksiyalar ch.kat.f. lar bo’lsa, nisbatga da ko’rinishidagi aniqmaslik deyiladi. Xuddi shunga o’xshash aniqmasliklar

limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni ochish deyiladi.

va () ko’rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan foydalaniladi: va funksiyalar nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o’zaro teng bo’lsa, ularning dagi limiti ham teng bo’ladi.

Masalan, va funksiyalar ning

dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki

Yuqoridagi xossaga asosan,

bo’ladi, ya’ni

natijaga ega bo’lamiz.

Funksiyalarning limitini topishga bir necha misollar qaraymiz.

1-misol. ekanligini funksiya limitining ta’rifidan foydalanib isbotlang.

Yechish. Buni isbotlash uchun o’zgaruvchi miqdor va o’zgarmas miqdor orasidagi farq da cheksiz kichik funksiya ekanligini ko’rsatish kifoya. Demak,



o’zgaruvchi miqdor da cheksiz kichik funksiyadan iborat. Shunday qilib,

.

2-misol. ekanligini isbotlang hamda va larning qiymatlari jadvali bilan tushuntiring.

Yechish. bo’lganligi uchun cheksiz kichik miqdordir.

ni ayirmaga qo’yib,

natijaga ega bo’lamiz.

cheksiz kichik funksiya bo’lganligi uchun ham cheksiz kichik bo’ladi. Shunday qilib, isbot bo’ldi.

Endi yuqoridagi holatni argument, funksiya qiymatlari jadvali bilan ko’rsataylik. Ma’lumki intiladi.

	2	2,5	2,8	2,9	2,99	2,999
	2	4	5,68	6,32	6,9302	6,993002

Bu jadvaldan ko’rinadiki, argumentning 3 ga yaqinlashib boruvchi qiymatlari uchun, funksiyaning mos qiymatlari 7 ga yaqinlashib boradi, ya'ni cheksiz kichik miqdorga ayirmaning ham cheksiz kichik miqdori to’g’ri keladi. Yuqoridagi jadvalda bo’lib, holni qaradik. bo’lib, holni o’quvchiga mustaqil ko’rsatishni tavsiya qilamiz.

Ratsional funksiyaing limitini hisoblash shu funksiyaning argument ning limitik qiymatidagi, qiymatini hisoblashga keltirildi.

Eslatma. elementar funksiyalarning intilgandagi limiti ( aniqlanish sohasiga tegishli) funksiyaning nuqtadagi qiymatiga teng bo’ladi. Masalan,

.

3-misol. limitni hisoblang.

Yechish. da surat ham, maxraj ham nolga aylanib ko’rinishdagi aniqmaslik hosil bo’ladi.

Surat va maxrajni formula yordamida chiziqli ko’paytuvchilarga ajratamiz. Bunda va lar kvadrat tenglamaning ildizlari. Demak,

bo’ladi.

4-misol. limitni hisoblang.

Yechish. da surat va maxraj 0 ga teng bo’ladi. Maxrajda irratsional ifoda mavjud, uni suratga o’tkazamiz, buning uchun kasrning surat va maxrajini ga ko’paytiramiz.

5-misol. limitni hisoblang.

Yechish. bo’lganligi uchun

natijani olamiz.

6-misol. limitni hisoblang.

Yechish: da va bo’lib, () ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi.

.

Oxirgi ifoda da aniqmas ifoda bo’ladi. Shunday qilib, .

7-misol. limitni hisoblang.

Yechish. da ko’rinishdagi aniqmaslik kelib chiqadi. Quyidagi shakl almashtirishni bajaramiz:

Oxirgi ifoda da ko’rinishdagi aniqmaslik bo’lib, 1-misoldagidek ning yuqori darajalisiga surat va maxrajini bo’lib,