1. Sonli qator tushunchasi Sonli qatorlarning yaqinlashuvchiligi

Musbat xadli qatorlar uchun yaqinlashuvchilik alomatlari. Dalamber alomati

bet	2/3
Sana	22.02.2023
Hajmi	406 Kb.
	#1219839

1 2 3

Bog'liq
Mavzu Сонли Qatоrlar

Musbat xadli qatorlar uchun yaqinlashuvchilik alomatlari. Dalamber alomati.
Biror
(barcha lar uchun ) (5)
qator berilgan bo`lsin. U holda:

Agar son va nomer mavjud bo`lib va dan boshlab

Tengsizlik o`rinli bo`lsa, (5) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

Agar shunday nomer mavjud bo`lib, barcha lar uchun

tengsizlik o`rinli bo`lsa (5) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
4 – natija. (Dalamber alomatining limit ko`rinishi). Agar (5) qator uchun
(6)
mavjud bo`lib, bo`lsa, (5) qator yaqinlashuvchi, bo`lganda esa qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring:
.
Yechilishi. Berilgan qator uchun:
,

bo`lganligi sababli, yuqoridagi 4 – natijaga ko`ra, berilgan qator uzoqlashuvchidir.
Koshi alomati. Ushbu qator berilgan bo`lsin
(barcha lar uchun ) . (3.7)
U holda:

Agar shunday son va m nomer mavjud bo`lib, barcha dan boshlab

tengsizlik o`rinli bo`lsa, (7) qator yaqinlashuvchi bo`ladi;

Agar shunday m no`mer mavjud bo`lib, barcha lar uchun

tengsizlik o`rinli bo`lsa, (7) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
5 – natija. (Koshi alomatining limit ko`rinishi). Agar (7) qator uchun
(3.8)
limit mavjud bo`lib, _{bo`lsa (3.7) qator yaqinlashuvchi,} _{bo`lganda, uzoqlashuvchi bo`ladi.}
_{1 – eslatma.}_{Agar (3.6) va(3.8) shartlarda} _{bo`lsa, Dalamber va Koshi alomatlari qatorning yaqinlashuvchi va uzoqlashishi to`g`risida hech narsa ayta olmaydi: qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo`lishi mumkin.}
_{Bizga ma`lumki,} _va _{qatorlarning ikkalasi ham (6) va (8) shartlarni qanoatlantirib,} _{bo`ladi, lekin ulardan birinchisi uzoqlashuvchi, ikkinchisi yaqinlashuvchi bo`ladi.}
_{2 – eslatma.}_{(6) limitning mavjudligidan (8) limitning mavjudligi kelib chiqadi, lekin buning teskarisi o`rinli emas, ya`ni (8) limitning mavjudligidan (6) limitning mavjudligi har doim ham kelib chiqavermaydi. Shuning uchun qatorlarni yaqinlashishga tekshirishda Koshi alomati Dalamber alomatiga qaraganda sezgirroq bo`lib hisoblanadi.}
_Misol. _{qatorni yaqinlashishga tekshiring, bunda}
_{q – musbat.}
_Yechilishi._{Quyidaginisbani qaraymiz}_:
_.
_bo`lganda _{chegaralanmagan bo`ladi, shuning uchun u chekli limitga ega emas. Lekin} _da _{bo`lganligi uchun q<1 bo`lganda qator yaqinlashuvchi, q>1 bo`lganda esa qator uzoqlashuvchi bo`ladi. Shunday qilib, Koshi alomati Dalamber alomatiga qaraganda sezgirroq ekanligiga ishonch hosil qilamiz.}
_Misol. _{qatorni yaqinlashishga tekshiring.}
_Yechilishi._{Berilgan qator uchun:}

_{bo`lganligi sababli, Koshi alomatiga ko`ra, berilgan qator yaqinlashuvchi.}
_Misol. _{qatorni yaqinlashishga tekshiring.}
_Yechilishi._{Stirlingning asimtotik formulasidan foydalanamiz:}
_da
_{Bu holda} _da _{bo`ladi. Yuqorida keltirilgan 3 – natijaga ko`ra berilgan qator uzoqlashuvchi bo`ladi.}
_{Raabe alomati.}_Agar
₍ _,_barcsha _{lar uchun) (9)}
_qatorda _{ning biror}_n₀ _{qiymatidan boshlab barcha} _{qiymatlar uchun}

_{tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda (9) qator yaqinlashuvchi(uzoqlashuvchi) bo`ladi.}
_{6 – natija(Raabe alomatining limit ko`rinishi).}_{Agar (9) qator uchun}
_{Limit mavjud bo`lib,} _{bo`lsa (3.9) qator yaqinlashuvchi,} _{bo`lsa qator uzoqlashuvchi bo`ldi.}
_{3 – eslatma.}_{Agar (9) qator uchun}

_{bo`lsa, u holda qator yaqinlashuvchi ham uzoqlashuvchi ham bo`lishi mumkin.}
_{Gauss alomati.}_{Agar (9) qator uchun}

_{bo`lsa, u holda:}

_{bo`lganda, (9) qator yaqinlashuvchi;}
_{bo`lganda, (9) qator uzoqlashuvchi;}
_bo`lib, _{bo`lganda, (9) qator yaqinlashuvchi;}
_bo`lib, _{bo`lganda, (9) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.}

_{Koshi integral alomati.}_Agar _funksiya _{k- biror son) da aniqlangan, uzluksiz, o`smaydigan va manfiy bo`lmagan funksiya bo`lib,}

_funksiya _{funksiya uchun boshlang`ich funksiya va} _bo`lsa,

_{mavjud chekli bo`lganda, (7) qator yaqinlashuvchi, bu limit mavjud bo`lmaganda yoki cheksiz bo`lganda (7) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.}

Download 406 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3