1. Sonli qatorning asosiy tushunchalari. Qator yaqinlashishining zaruriy shartlari. Yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari. Garmonik qatorlar. Musbat hadli qatorlarni taqqoslash teoremalari. Reja

Tаyanch so’zlаr: Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyish,binomial qator,Teylor va Makloren qatorlari

Agar funksiya

. (1)
qatorning yig’indisi bo’lsa, u holda funksiya ning darajalari bo’yicha qatorga yoyiladi deyish mumkin.
1-teorema. Agar funksiyani oraliqda
(2)
qatorga yoyish mumkin bo’lsa, u holda bunday yoyilma yagona bo’ladi.
Isbot. Darajali qatorni hadma-had differensiallash haqidagi teoremaga asosan quyidagi ifodalarni yozish mumkin:

,

,


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Bu tengliklarga hamda (2) ga ni qo’yib noma’lum koeffitsientlarni topamiz.
, , , , . . .,

yoki
, , ,
, . . . , . (3)
Hosil bo’lgan koeffitsientlarni (2) qatorga qo’yib quyidagi qatorni hosil qilamiz:
(4)
(4) qatorni Teylor qatori deyiladi.
, , ,…
o’zgarmas sonlarga funksiyaning nuqtadagi Teylor qatorining koeffitsientlari deyiladi.
Shunday qilib, agar funksiyani ning darajalari bo’yicha yoyish mumkin bo’lsa, u holda bu qator albatta funksiyaning Teylor qatori bo’ladi.
Agar Teylor qatorida desak, u holda Teylor qatorining xususiy holi kelib chiqadi.
. (5)
(5) qatorga Makloren qatori deyiladi.
Yuqorida qilingan mulohazalar funksiyani darajali qatorga yoyish mumkin bo’lgandagina o’rinlidir.
Faraz qilaylik, funksiyani oraliqda ixtiyoriy tartibli hosilalri mavjud bo’lsin. U xolda shu oraliqqa tegishli ixtiyoriy ning qiymatlari va ixtiyoriy lar uchun Teylor formulasi o’rinli bo’ladi:
. (6)
Bu erda
. (7)
bu yerda .
(7) ga Teylor formulasining Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadi deyiladi.
Endi funksiya uchun tuzilgan
(8)
Teylor qatori oraliqda yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng bo’lish shartini aniqlaymiz.

bo’lsin.
ko’phad qandaydir ma’noda funksiyaga yaqinlashishini anglaydi. Buning yordamida funksiyaning aniqlik darajasini aniqlash mumkin bo’ladi.
Bu holda

yoki

bo’ladi. (8) Teylor qatori oraliqda funksiyaga intilishi uchun Teylor formulasining qoldiq hadi da nolga intilishi kerak, ya’ni
.
Endi Teylor qatorining funksiyaga yaqinlashish tartibini aniqlaymiz.
2-teorema. Agar oraliqda funksiya ixtiyoriy tartibli hosilalarga ega bo’lib, hamda
(9)
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda shu oraliqda (4) yoyilma o’rinli bo’ladi.
Isbot.

va (9) lardan foydalanib, quyidagi tengsizlikni yozamiz:
(10)
Lekin

qator Dalamber alomatiga asosan yaqinlashuvchi bo’lgani uchun

bo’ladi. Bundan (10) ni e’tiborga olsak, oraliqda o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
Teorema isbot bo’ldi.
Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish
1. funksiyani Makloren qatoriga yoyish. Makloren qatorining koeffitsientlari

formula orqali ifodalanadi. Berilgan funksiyadan hosilalar olib, nuqtadagi qiymatlarini topamiz.
,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Demak, . Natijada, funksiya uchun quyidagi qatorni hosil qilamiz:
. (1)
Bu qatorning yaqinlashish sohasini aniqlaymiz.
.
Demak, (1) qator oraliqda yaqinlashuvchi ekan.
Endi ning har qanday qiymatida qatorning yig’indisi ga teng ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy lar uchun

ekanligini isbotlash yetarli bo’ladi.
4-§ paragrafdagi 2-teoremaga asosan (9) tengsizlik ixtiyoriy oraliqda o’rinli bo’ladi, chunki . Shuning uchun ning barcha qiymatlari uchun (1) yoyilma o’rinli bo’ladi.
2. funksiyani Makloren qatoriga yoyish. berilgan funksiyadan hosilalarini topamiz.

,
,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
da , , , , va hokazo. Demak, , , , , , . . . , . Bundan bo’lganda , bo’lganda esa bo’lishi ravshandir. oraliqdagi barcha lar uchun tengsizlik o’rinlidir.
4-§ paragrafdagi 2-teoremaga asosan oraliqdagi barcha lar uchun quyidagi qator bo’ladi:
.
3. funksiya ham ning oraliqdagi barcha qiymatlari uchun quyidagi qator o’rinli bo’ladi:
.