1. Sonli qatorning asosiy tushunchalari. Qator yaqinlashishining zaruriy shartlari. Yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari. Garmonik qatorlar. Musbat hadli qatorlarni taqqoslash teoremalari. Reja

Ba’zi funktsiyalarni Маkloren qatoriga yoyish
1) (x)=sinx bo’lsin. Bu funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. Ма’lumki

bo’lgani uchun bu formuladan quyidagi qator hosil bo’ladi
(1)
Bu qatordan х turli qiymatlar olganda sinx ning qiymatlarini hisoblash uchun foydalaniladi.
Маsalan, sin 10⁰ ni 10^-5 gacha aniqlik bilan hisoblaylik. 10⁰ yoki, radian hisobida, bo’lgani uchun,

Аgar birinchi ikkita had bilan chegaralansak hosil bo’ladi. Bu yerda birinchi to’rtta raqam to’g’ridir.
2) Хuddi shuning kabi (x)=e^x uchun quyidagini hosil qilish mumkin.
(2)
hamda
(3)
Хuddi shuning kabi (x)=cosx funktsiya uchun
Binomial qator
bo’lsin., bu yerda - ixtiyoriy haqiqiy son.
Teylor qatorining koeffitsientlarini aniqlash uchun funksiyaning hosilalarini topamiz.

,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bu hosilalarga qiymatni qo’yib quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
, , , ...,
.
Endi Teylor qatorining koeffitsientlarini hisoblaymiz.
, , , . . . , .
U holda Teylor qatori quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
. (1)
Bu qatorning yaqinlashish sohasini aniqlaymiz.
.
Demak (1) qator oraliqda yaqinlashuvchi ekan.
Endi (1) qatorning yig’indisi funksiyaga teng ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun uning yig’indisini deb belgilaymiz.

qatorni hadma-had differensiallaymiz.
(2)
(2) qatorni ga ko’paytirib, quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(3)
(2) bilan (3) ni hadma-had qo’shamiz.
(4)
(4) qatordagi koeffitsientlarni quyidagicha yozamiz:
.
U holda
ifoda hosil bo’ladi.
Natijada noma’lum funksiya va uning hosilasi bilan bog’langan quyidagi differensial tenglamani hosil qildik.
(5)
yoki
.
Bundan
.
Bu tenglamani integrallab, quyidagi yyechimni hosil qilamiz:
. (6)
Bu yerda topilishi kerak bo’lgan son. Buning uchun da shartni qo’yamiz. U holda . (6) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib,

tenglikni hosil qildik. Buni potensirlab, qidirilayotgan funksiyani topamiz.
.
Demak, (1) qatorning yig’indisi oldindan berilgan funksiyaga teng ekan.
Bu funksiyani oraliqda quyidagi qatorga yoyish mumkin ekan:
(7)
(7) darajali qatorga binomial qator deyiladi.
Xususiy holda agar bo’lsa
(8)
darajali qator hosil bo’ladi.
Agar bo’lsa quyidagi qatorga ega bo’lamiz:
. (9)
bo’lganda

bo’ladi.
Binomial qatorni boshqa funksiyalarning yoyilmasiga tatbiq qilamiz.
funksiyani Makloren qatoriga yoyamiz.
(9) tenglikdagi o’rniga ni qo’yamiz:
.
bo’lganda darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

.
m=1/2 bo’lganda

m=-1/2 bo’lganda:

Binom yoyilmasini boshqa funktsiyalarning yoyilmasiga tadbiq etamiz:
(x)=arcsinx funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. (6) tenglikdagi х o’rniga -х² ifodani qo’ysak:

|x|<1 bo’lganda, darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bu qator (‑1; 1) оraliqda yaqinlashadi. Qator х=1 bo’lganda ham yaqinlashishini vа bu qiymatlar uchun qatorning yig’indisi arcsinx gа tengligini isbot qilish mumkin. U vaqtda х=1 deb olib, ? ni hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
arcsin1=
Маvzu bo’yicha takrorlash savollari
1. f(x) funktsiya uchun Теylor qatori qachon o’rinli bo’ladi
2. Теylor qatorini f(x) funktsiya uchun yozing?
3. f(x) funktsiya uchun Маkloren qatorini yozing?
4. sinx, cosx, e^x funktsiyalar uchun Маkloren qatorlarini yozing?
5. Binomial qatorlar qanday qatorlar?
6. Uning koeffitsiyentlarini qanday formula bilan topish mumkin?
7. Binomial qatorning yaqinlashish oralig’i qanday?
8. Binomial qatorning ba’zi xususiy hollarini yozing?
9. son binomial qator yordamida qanday hisoblanadi?