1. Tanlama kuzatish to’g’risida tushuncha. Tanlama kuzatish usullari

2. O’rtacha va chegaraviy tanlama kuzatish xatolari

Yuqorida ta’kidlab o’tilgandek, tanlama xato faqatgina bosh to’plamning mazmuniga tavsifnoma berishi mumkin, lekin uning umumlashtiruvchi ko’rsatkichlari (o’rtacha va salmoq) noma’lumligicha qolaveradi.

Ushbu holatlarni bartaraf etishda rus olimlaridan bo’lgan P.L.Chebishev va A.M. Lyapunovlar tavsiya etgan o’rtacha tanlama xato formulasidan foydalanib aniqlash mumkin, ya’ni:
,
bu yerda
– (myu) – tanlama to’plamdagi o’rtachasining xatosi;
₀² – bosh to’plamdagi dispersining belgisi;
n – tanlama to’plamdagi birliklar soni.
Bu yerda, bosh to’plamdagi dispersiya ( ₀²) noma’lum bo’lsa, u holda uni tanlama to’plamdagi dispersiya ( ₀²) bilan almashtiriladi, natijada quyidagi formulaga ega bo’lamiz:

Ushbu formula asosida tanlamadagi belgining o’rtacha xato salmog’ini ham aniqlash mumkin:
,
bu yerda –tanlama to’plamdagi salmog’ining o’rtacha xatosi;
– tanlama to’plamdagi salmoqning belgisi;
n – tanlama to’plamdagi birliklar soni;
yoki pq - o’rganilayotgan belgida dispersiyaning salmog’i.
Yuqorida keltirilgan tanlama to’plamning o’rtacha xato formulalari takrorlanuvchi tanlama to’plamda qo’llaniladi.
Takrorlanmaydigan tanlama to’plamda tanlama to’plamning o’rtacha xato formulalari quyidagi ko’rinishga ega:
- belgining o’rtacha miqdorini aniqlashda;
- belgining o’rtacha salmog’ini aniqlashda.
Endi ushbu formulalarni yagona jadvalda keltirilib o’tamiz (63-jadvalga qarang):
63-jadval
Tanlama to’plamda tanlama to’plamning o’rtacha xato ( )sini hisoblash formulalari

Tanlash usuli	o’rtacha xato
	o’rtacha uchun	salmoq uchun
1. Takrorlanuvchi
2.Takrorlanmaydigan

Shuni ta’kidlab o’tish kerak-ki, takrorlanmaydigan tanlama to’plamdagi o’rtacha vakolatli xato takrorlanuvchi tanlama to’plamdagi o’rtacha vakolatli xatoga nisbatan o’rtacha xatoga yo’l qo’yilishi mumkin.
1-misol. Faraz qilaylik, xo’jalikda yashayotgan aholi xo’jaligida 260 ta (N) sigirlar mavjud bo’lib, tasodifiy tanlash yo’li bilan (takrorlanmaydigan usulda) 28 ta (n) sigirlar ajratib olindi. Tekshirish natijasida quyidagilar aniqlandi:
1) Bir sigirdan bir yilda o’rtacha sog’ib olingan sut miqdori – 2100 kg;
2) Sigirlardan yillik o’rtacha sog’ib olingan sut miq-dori bo’yicha tafovut (o’rtacha kvadratik tafovut- )–150 kg;
3) Xo’jalikdagi jami sigirlarda zotli sigirlarning salmog’i ( ) -0,8 yoki 80 %.
Ushbu keltirilgan ma’lumotlar asosida quyidagi o’rtacha vakolatli xatoni hisoblaymiz.
1) Sigirlarning o’rtacha yillik mahsuldorligini aniqlash orqali;
2) Xo’jalikdagi zotli sigirlarning salmog’ini aniqlash orqali.
Yechim. Sigirlarning o’rtacha yillik mahsuldorligini aniqlash orqali yo’l qo’yilgan vakolatli xatoni hisoblaymiz:

Bu degan so’z, aholi xo’jaligida sigirlar bo’yicha o’rtachani hisoblashda haqiqiy o’rtacha (2100 kg) dan ko’pi yoki kami bilan (26,8 kg) ga tafovut qiladigan darajada xatoga yo’l qo’yilishi mumkin. Shunday qilib, xo’jalik bo’yicha sigirlarning o’rtacha yillik mahsuldorlik ishonch intervali (x) ni quyidagicha aniqlash mumkin:


2100-26,8 X 2100+26,8

2073,2 X 2126,8

Demak, xo’jalik bo’yicha sigirlarning o’rtacha yillik mahsuldorligi bir yilda 2073,2 kg bilan 2126,8 kg, oarlig’ida bo’lishini ishonch bilan aytish mumkin, boshqacha qilib aytganda xo’jalikdagi sigirlarning o’rtacha yillik mahsuldorligini 2100 kg deb qaralsa, o’rtacha vakolatli xato 26,8 kg dan oshmasligini ta’kidlab o’tish mumkin.
Endi xo’jalikdagi zotli sigirlarning salmog’ini aniqlash orqali yo’l qo’yilgan o’rtacha vakolatli xatoni hisoblab chiqamiz:

(yoki= 7,2%) ni tashkil etadi.
Bu degan so’z, xo’jalikdagi sigirlar bo’yicha o’rtachani hisoblashda haqiqiy o’rtacha (80%) dan ko’p yoki kami bilan ( 7,2 foiz)ga tafovut qiladigan daraja xatoga yo’l qo’yilishi mumkin.
Shunday qilib, xo’jalik bo’yicha zotli qoramollarning salmoq ishonch intervali ( )ni quyidagicha aniqlash mumkin:

80,0 -7,2 80,0+7,2

72,8 87,2
Demak, xo’jalik bo’yicha zotli sigirlarning salmog’i shu yilda 72,8 foiz bilan 87,2 foiz oralig’ida bo’lishini ishonch bilan aytish mumkin, boshqacha qilib aytganda, xo’jalikdagi zotli sigirlarning salmog’ini 80,0 foiz deb qaralsa, o’rtacha vakolatli xato 7,2 foiz dan oshmasligini ta’kidlab o’tish mumkin.

O’rtacha vakolatli xato tanlama to’plamdagi umumlashtirilgan o’rtachalari bilan ko’rsatkichlarning (o’rtacha va salmoq) o’rtachalari bilan bosh to’plamdagi shunga mos keluvchi ko’rsatkichlarning o’rtachalari o’rtasidagi tavofutini tavsiflab, bu xato turli xil fizik o’lchovlarda ifodalanib, bularning mutlaq darajalari ham har xil ko’rinishda bo’ladi. Bularni taqqoslama holda bo’lishi uchun statistikada mutlaq darajalarni nisbiy darajalar ko’rinishiga keltiriladi, ya’ni vakolatli o’rtacha xato-ishonch koeffisiyenti (t) orqali ifodalanadi.

Bu ishonch koeffisiyenti (t) F(t) ehtimollik bilan bog’langan bo’lib, uni integral funksiyali normal taqsimlanish ko’rinishdagi formula orqali keltirib o’tamiz:

bu yerda (t) – tanlama to’plam o’rtachasi bilan bosh to’plam o’rtachasi o’rtasidagi farqning ( ) o’rtacha kvadratik tafovut ga ( ) bo’linganiga teng:

Agarda, t=1 bo’lganda, tanlama o’rtacha bosh to’plam o’rtachasidan tafovut oralig’ida joylashgan bo’ladi. Buni chizmada quyidagicha ifodalash mumkin (319-betdagi 29-chizmaga qarang) Shtrixlangan maydonning barcha maydonga bo’lgan nisbati tanlama o’rtachaning bosh to’plam o’rtachasi o’rtasidagi tavofut oralig’idagi farqni ifodalaydi ( ) va bu barcha maydonning 68,0 foizidan ko’proq sathga to’g’ri keladi.


29

28

27

Agarda t=2 bo’lganda, ehtimollik anchagina oshadi va barcha maydonning 95 foizidan ko’proq sathga to’g’ri keladi (30-chizmaga qarang).

Agarda, t=3 bo’lganda, shtrixlangan maydon barcha maydonning 99,7 foizini tashkil qiladi (31-chizmaga qarang).
Endi (t) ning aniq holda ifodalanishini F (t) bilan bog’liq bo’lgan integral funksiyali normal taqsimlanish formulasi orqali hisoblangan qiymatlarining ayrimlari keltirib o’tamiz (64-jadvalga qarang):
64-jadval.
Integral funksiyali normal taqsimlanishi

t	F (t)	t	F(t)	t	F(t)	t	F(t)
0,0	0,0000	1,0	0,6827	2,0	0,9545	3,0	0,9973
0,1	0,0797	1,1	0,7287	2,1	0,9545	3,1	0,9981
0,2	0,1585	1,2	0,7699	2,2	0,9643	3,2	0,9986
0,3	0,2358	1,3	0,8064	2,3	0,9722	3,3	0,9993
0,4	0,3108	1,4	0,8385	2,4	0,9786	3,4	0,9995
0,5	0,3829	1,5	0,8664	2,5	09876	3,5	0,9995
0,6	0,4615	1,6	0,8904	2,6	0,9907	3,6	0,9997
0,7	0,5161	1,7	0,9109	2,7	0,9931	3,7	0,9998
0,8	0,5763	1,8	0,9281	2,8	0,9949	3,8	0,9998
0,9	0,6319	1,9	0,9426	2,9	0,9963	3,9	0,9999

Ushbu jadval asosida quyidagi fikrlarni keltirib o’tamiz:

Masalan, F(t) = 0,683 ga teng bo’lsa, tanlama bir marta o’tkazilmasdan, 1000 marta o’tkazilsa, u holda 683 martasida bosh to’plam o’rtacha va salmog’i tanlama to’plam salmog’idan t=1 miqdoridagi farq ( ) bilan tafovutda bo’ladi. Qolgan 317 martasida o’rtacha va salmoq shu chegaradan tashqariga chiqishi mumkin.
Ehtimollik darajsini oshirish uchun qo’yilishi mumkin bo’lga xato chegarasini kattalashtirish kerak bo’ladi. Buning uchun (t) qiymatimizda tafovutni ikki marta oshirsak, (ya’ni) 2 deb qabul qilsak, unda t= 2 va 1000 ta tanlovdan 954 martasida bosh to’plam o’rtachasi va salmog’i tanlama o’rtachasi va salmog’idan ikki baravar kattalikdagi tavofutdan yuqori tafovutda bo’lmaydi. Qolgan 46 martasida o’rtacha va salmoq shu chegaradan tashqariga chiqishi mumkin.
Agarda, o’rtacha vakolatli xato uch baravargacha oshirilsa (ya’ni, 3 deb qabul qilsak) unda t=3 ga teng bo’lib ehtimollik darajasi 0,997 gacha yashadi.
Shunday qilib, o’rtacha vakolatli xato chegarasi kengayishi bilan ehtimollik darajasi oshib boradi va borgan sari bir soniga yaqinlashadi.
Demak yuqorida keltirilgan misolimizda o’rtacha (317-betdagi 1-misolga qarang) vakolatli xato ( ) bir sigirdan o’rtacha yillik sog’ib olingan sut miqdori bo’yicha (26,8 kg) ni tashkil etadi. Bu degani xo’jalik bo’yicha bir sigirdan o’rtacha yillik sog’ib olingan sut miqdori – 2100 kg yo u tomonga yo bu tomonga 26,8 kg ga farq qilishi mumkin.
Agarda, t=1 ga bo’lsa, F(t) = 0,683 ehtimollik daraja bilan aytish mumkinki, ishonch intervali

kg
oralig’ida joylashadi.
Agarda t=2 ga teng bo’lsa F(t)=0,954 ehtimollik darajasi bilan aytish mumkinki, ishonch intervali

kg
kg
oralig’ida joylashadi.
Agarda, t=3 ga bo’lsa, F (t) = 0,997 ehtimollik darajasi bilan aytish mumkinki, ishonch intervali

kg
kg
oralig’ida joylashadi.
Shu tartibda xo’jalikdagi zotli sigirlarning salmog’i bo’yicha ham o’rtacha vakolatli xato orqali ishonch intervalini aniqlash mumkin, ya’ni:

(t=1 bo’lganda, F (t)=0,954 bo’lsa)
(t=2 bo’lganda, F (t)=0,954 bo’lsa)



(t=3 bo’lganda, F (t)=0,954 bo’lsa)

Agarda, har bir aniq sharoitda tanlama kuzatish bir marotaba o’tkazilab, olingan natijalarini baholash masalasi tug’ilgan bo’lsa, u holda F (t) ehtimollik (ishonch darajasi) bilan o’rtacha vakolatli xatolarning chegaralarini aniqlash usuli orqali yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xato hisoblanadi.

;
o’rtachaning chegaraviy xatosi;
salmog’ining chegaraviy xatosi;
t - ishonch koeffisiyenti;
Ushbu formulalar asosida ishonch koeffisiyenti (t)ni ham topish mumkin, ya’ni:
;
Masalan, bir sigirdan bir yilda o’rtacha 2200 kg sut sog’ib olinishi shu davrda 22,5 kg farqlanmasligi sharti bilan (agarda, vakolatli o’rtacha xato =9,37 teng bo’lsa) ishonch koeffisiyenti (t) ni quyidagicha aniqlash mumkin:

Bu olingan natijani integral funksiyali normal taqsimlanish jadvalidan (320-betdagi 88-jadvalga qarang) F (t) –ni ehtimollikning hisoblangan qiymatini topib olamiz, ya’ni:
t=2,4 bundan F(t)= 0,978 ga teng bo’ladi.
Demak, F(t) = 0,978 ishonch bilan shuni ta’kilab o’tish mumkinki, bir sigirdan bir yilda o’rtacha 2200 kg sut olinganda ko’pi yoki kami bilan ( 22,5 kg)ga tafovut da bo’lishi mumkin.
Biz bu yerda faqatgina o’rtachaning chegaraviy xato formulasidan foydalanib uning ishonch koeffisiyenti (t) ni hisoblash usulini keltrib o’tdik. Shu tartibda salmoqning chegaraviy xato formulasidan ham foydalanib uning ishonch koeffisiyenti (t) ni hisoblash mumkin bo’ladi.
Shunday qilib, yuqorida keltirilgan formulalar asosida tasodifiy va mexanik tanlama uchun bo’lgan yagona chegaraviy xato formulalarini keltirib o’tamiz (65-jadvalga qarang).
65-jadval.
Tanlama to’plamda yo’l qo’yishi mumkin bo’lgan chegarviy xato ( ) ni tasodifiy va mexanik tanlama uchun hisoblash formulalari

Tanlash usuli	Yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xato
	o’rta uchun	salmoq uchun
Takrorlanuvchi
Takrorlanmaydigan

Shu tartibda tipik va seriyali tanlama uchun ham chegarviy xato formulalarini keltirib o’tamiz (66 va 67-jadvallarga qarang).
66-jadval
Tanlama to’plamda yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan chegaraviy xato ( ) ni tipik tanlama uchun hisoblash formulalari

Tanlash usuli	Yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xato
	o’rtacha uchun	salmoq uchun
Takrorlanuvchi
Takrorlanmaydigan

Bu yerda ² va - umumiy dispersiya o’rniga dispersiya qismlarining o’rtachasi olinadi.
67-jadval
Tanlama to’plamda yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan chegaraviy xato ( ) ni seriyali tanlama uchun hisoblash formulalari

Tanlash usuli	Yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xato
	o’rtacha uchun	salmoq uchun
Takrorlanuvchi
Takrorlanmaydigan

Bu yerda – S – bosh to’plamdagi seriyalarning umumiy soni;

s – tanlama to’plamdagi seriyalarning umumiy soni;

- guruhlardagi belgi salmog’ining o’rtachasi
Demak, seriyali tanlamada dispersiya ko’rsatkichlari o’rniga guruhlararo dispersiya olinadi.
Endi yo’l qo’yilishi mumkin bo’lgan xatoni hisoblash tartibini quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.
Misol. Chorvachilikka ixtisoslashgan xo’jalikda 480 qo’y mavjud bo’lib, shundan 48 tasida nazorat tartibida qirqim amalga oshirilishi natijasida bir qo’ydan o’rtacha 3,0 kg jun olingan bo’lib, o’rtacha kvadratik tafovut 0,6 kg ni tashkil etadi.
F(t) = 0,954 ehtimollik bilan tanlama to’plamning chegaraviy xatosini hisoblab chiqamiz.
Yechim: Ushbu misolimizda keltirilgan ma’lumotlarni belgilab olamiz:
N = 480 bosh;
n = 48 bosh;
F (t) = 0,954, bundan t=2
= 0,6 kg.



= ?





F(t)=0,954 ehtimollik darajasi bilan shuni ta’kidlash mumkin-ki, bir qo’ydan o’rtacha qirqib olingan jun miqdori – 3,0 kg yo u tomonga, yo bu tomonga 0,2 kg ga farq qilishi mumkin.
Ayrim hollarda, kichik tanlama (n<20) usuli ham qo’llaniladi. Bu kichik tanlama usuli tajriba xo’jaliklarida yangi navlarni sinab ko’rishda, chorvachilikda chorva mollarning o’sgan vaznini hisoblashda ishlab chiqarilgan mahsulotlarning sifatini aniqlashda va shu kabi holatlarda foydalaniladi.
Kichik tanlamani hisoblashda quyidagi formula qo’llaniladi:

bu yerda (n-1) – erkin o’zgaruvchi birliklar soni;
Erkin o’zgaruvchi birliklar soni deb, variasiya qatorlarida o’rtacha miqdor qiymatining o’zgarishiga mutlaq daxlsiz bo’lgan birliklar soni tushuniladi.
Kichik tanlama usulining nazariy asoslarini Styudent tomonidan ishlab chiqilgan bo’lib, R.Fisher tomonidan rivojlantirilgan.
Styudent tanlama to’plamdagi o’rtachaning bosh to’plamdagi o’rtachadan tafovutining kichik tanlama uchun taqsimlanish qonuniyatini birinchi bo’lib hisoblab chiqdi va shu asosda maxsus jadvalni tuzdi. Bu jadval quyidagi ko’rinishga ega (68-jadvalga qarang):
68-jadval
Styudentning kichik tanlamani hisoblash
maxsus jadvali

ehtimollik darajasi bo’yicha t- krite- riyasi bo’yicha	0,10	0,05	0,02	0,01
1	6,314	12,706	31,821	63,657
2	2,920	4,303	6,965	9,925
3	2,353	3,182	4,541	5,841
4	2,132	2,776	3,747	4,604
5	2,015	2,571	3,365	4,032
6	1,943	2,447	3,143	3,707
7	1,895	2,365	2,998	3,499
8	1,860	2,306	2,896	3,355
9	1,833	2,262	2,821	3,250
10	1,812	2,228	2,764	3,169
11	1,796	2,201	2,718	3,106
12	1,782	2,179	2,681	3,055
13	1,771	2,160	2,650	3,012
14	1,761	2,145	2,624	2,977
15	1,753	2,131	2,602	2,947
16	1,746	2,120	2,583	2,921
17	1,740	2,110	2,567	2,898
18	1,734	2,101	2,552	2,878
19	1,729	2,093	2,539	2,861
20	1,725	2,086	2,528	2,845
21	1,721	2,080	2,518	2,831
22	1,717	2,074	2,508	2,819
23	1,714	2,069	2,500	2,807
24	1,711	2,064	2,492	2,797
25	1,708	2,060	2,485	2,787

Endi quyidagi misollar orqali ushbu jadvaldan foydalanish tartibini ko’rib chiqamiz.
1-misol. Tanlama kuzatish natijasida 15-ta sut sog’uvchi bir sigirdan sut sog’ib olish uchun o’rtacha – 8,52 minut sarflangan bo’lsa, o’rtacha kvadratik tafovut esa 0,97 minutga teng bo’lgan.
U holda tanlama to’plam o’rtachasining o’rtacha xatosi quyidagicha aniqlanadi:
minutni tashkil etadi.
Styudent jadvali orqali aniqlanganki, 14 (15-1) erkin o’zgaruvchi birliklar soni F(t)=0,05 ehtimollikda t= 2,145 ga teng bo’ladi.
Demak, tanlamaning chegarviy xatosi: 2,145x 0,25=0,54 minutni tashkil etadi. Bundan, F(t)=0,95 ehtimollik darajsi bilan shuni tasdiqlash mumkinki, bir sigirdan sut sog’ib olish uchun o’rtacha:
8,52 0,54
yoki 7,98 dan to 9,06 minut vaqt sarflangan.
2-misol
69-jadval
Viloyatda buzoq olish bo’yicha quyidagima’lumotlar berilgan

Kuzatish raqami	Buzoq chiqishi
	Tajriba guruhi	Nazorat guruhi
1	96	87
2	87	86
3	93	83
4	80	85
5	95	76
6	89	81
Jami	540	498

Yuqorida keltirilgan ma’lumotlar asosida aniqlaymiz:
1) Har bir guruh bo’yicha o’rtacha buzoq chiqishi va farqi:

2) Har bir guruh bo’yicha o’rtacha kvadratik tafovuti:
a)
b)

3) Har bir guruhdagi tanlama to’plam o’rtachasining o’rtacha xatosini:

a)
b)
4) Ikala guruh bo’yicha tanlama to’plam o’rtachasining o’rtacha xato tofovutini:

5) Chegaraviy xatoni: Styudent jadval orqali aniqlanganki, 10 [(6-1)+ (6-1)]- erkin o’zgaruvchi birliklar soni F (t)= 0,005 ehtimollikda t=2,228 ga teng bo’ladi.
Demak, tanlamaning chegaraviy xatosi:
2,228 x 2,95 = 6,6 ga yoki teng bo’ladi. Bundan, F (t)= 0,95 ehtimollik darajasi Bilan shuni tasdiqlash mumkinki, har 100 sigirdan olingan buzoq o’rtacha

yoki 79,9 dan to 93,1 buzoq olish oralig’ida joylashadi.

3-misol
70-jadval

Bug’doyning ikki navi bo’yicha hosildorligi

Qaytarilishi	hosildorligi, s/ga		hosildorlikning farqi (A-B) d
	Nav - A	Nav - B
1	37,0	37,0		0
2	40,0	38,0		+2
3	42,8	35,0		+7,8
4	39,2	39,2		0
5	40,0	38,0		+2
Jami	199,0	187,2		+11,8
o’rtacha	A=39,8	B=37,4		(A-B)=2,4

Yuqorida keltirilgan ma’lumotlar asosida aniqlaymiz:

1. O’rtacha farqini:
s/ga
2. O’rtacha kvadratik chetlanishi:

3. O’rtachafarqningo’rtachaxatosini:

s/ga
Styudentjadvalorqalianiqlanganki, 4(5-1) – erkino’zgaruvchibirliklarsoni.
F (t) = 0,05 ehtimollikda
t=2,776 teng bo’ladi.
Demak, tanlamaning chegarviy xatosi:
2,776x0,55=1,5268 s/ga yoki taqriban 1,5 s/ga teng bo’ladi. Bundan, F(t) = 0,95 ehtimollik darajasi bilan shuni tasdiqlash mumkinki, bir gektar yerdan olingan hosildorlik o’rtacha:

yoki 17,8 dan to 20,8 hosildorlik olish oralig’ida joylashadi.