1. taqribiy hisob absolyut va nisbiy xato sonlarni yaxlitlash usullari

Qadimgi bobil matematikasi
Eramizdan oldingi XXIV asrlarda Yevfrat va Tigr daryolari oralig'ida ikki quldorlik-Janubda Shumerlar, shimolda Akkadlar davlati vujudga keldi. Ularning asosiy mashg'ulotlari sug'oriladigan yerlardagi dehqonchilik edi. Madaniyat dastlab janubda-Shumerlarda rivojlandi. Shaharlar, qasrlar va boshqa turdagi binolarning qurilishi, savdo-sotiq, kasb-hunarning ravnaqi fanlarning, eng avvalo matematika fanining vujudga kelishiga sharoit yaratadi. Hozirgacha yetib kelgan mixxatlarni ham Shumerlar kashf etishgan. Mixxatlar g'allani yoki mollarni topshirish haqidagi axborotlar Shumerlarda 60 li sanoq sistemasi mavjud bo'lganidan dalolat beradi.
Eramizdan oldingi XXIII asrda Sargan I Shumerlar davlati bilan Akkadlar davlatini birlashtirgan. Lekin oradan uzoq yillar o'tishi bilan, Shumerlar xalq sifatida yo'qolib ketgan. E.o. XIX-XVIII asrlarda bu davlatning poytaxti Bobil shahri bo'lgan, davlat uchun ham ana shu nom saqlanib qolgan. Qadimgi Bobil shahri hozirgi Iroq Respublikasining poytaxti Bog'dod shahri hisoblanadi. Bobilning u davrdagi aholisi forslar, yahudiylar, yunonlar va hindlardan iborat bo'lgan. Trigonometriyaning boshlang'ich tushunchalari mana shu yerda vujudga kelgan va ular birinchi bo'lib burchakni o'lchashga erishgan.
Bobilliklarning mixxatlari o'tgan asrning o'rtalarida kashf etildi. Ammo ko'pgina olimlar bu jadvallar diniy bo'lsa kerak degan aqida bilan ularga unchalik ahamiyat berishmadi. Lekin e.o. VII asrga taalluqli shoh Ashshurbanipapalning kutubxonasi topilgach, unga qiziqish ortdi. Topilgan 20 mingga yaqin jadvallar orasida, matematikaga taalluqli jadvallar ham anchagina ekan.
1916 yildan boshlab, fransuz olimi F.Tyuro-Danjen (1872-1944), 1929 yildan boshlab nemis matematika tarixchisi O.Neygebauerlar matematik mixxatlarini o'qib, ma'nosini ochib berdi. O'sha topilgan jadvallardan 300 dan ortiqrog'i o'qilgan. Bobil matematikasi haqida ana shular mazmuniga qarab fikr yuritamiz.
Bobilliklarning sanoq sistemasi
Shumerlar sonlarni loydan yasalgan taxtachaga uchqurlangan tayoq-chani bosish bilan yozishgan. Agar tayoqchaning doira shaklidagi uchini og'maroq holda bosilsa, Ellips hosil bo'ladi, bu birning belgisi; to'g'ri burchak ostida bosilsa, doira hosil bo'ladi, bu o'nning belgisi. Keyinchalik tayoqchaning o'tkir uchidan foydalaniladigan bo'ldi, u holda birning belgisioddiy pona shaklida bo'lib qoladi. O'nning belgisi prizma shaklidagi tayoqchani og'maroq bosishdan hosil bo'ladi (1-jadval, 4-ustunga qarang).
Shumerlar hisoblashlarda 60li sanoq sistemasidan, boshqa hollarda esa o'nli sanoq sistemasidan foydalanishar edi. Matematik va astronomik matnlardagina sonlar o'lchovlarida aralash yozuv ishlatilar edi. Masalan, 225 ni «2 me 25» deb atashadi, bunda «me» yuzni anglatadi.
Avval o'nning katta qilib yozilgan belgisi 100, 60 li sistemada esa 60 ni bildirgan. Bir-biriga qarama-qarshi qo'yilgan ikki belgi 120 ni; agar orasida yana bitta o'n belgisi bo'lsa - 1200 ni bildirgan. 100 - kabi, 1000 – kabi, 10000- kabi belgilangan. Keyinchalik yozuvning soddalashuvi, bir xil ko'rinishga kela borish bilan katta va kichik belgining ahamiyati qolmadi va nihoyat, va ikki belgigina qoldi. Natijada turli xona birliklarini turli belgilar bilan yozish yo'qoldi, bu esa o'z navbatida pozitsion sistemani vujudga keltirdi.
Bu sistemada hamma sonlar va belgilarni takrorlash bilan yozilar edi; masalan, 21 quyidagicha yoziladi: Bu yerda qo'shishdan foydalanilsa, boshqa joyda ayirishdan foydalanilar edi; 19 ni 20-1 ko'ri-nishida, ya'ni kabi yozishgan, bu yerdagi belgi «lal» bizning «siz» qo'shimchamizga to'g'ri keladi. Belgini «birsiz 20» deb o'qish lozim, u 19 degani. Bobilliklar borib-borib belgilarni gruppalaydigan bo'ladilar. Masalan, 19ni ko'rinishda yozgan.
Bobilliklarda kasrlar uchun maxsus belgilar bor edi: , ,
Bobilliklarning 60 li sanoq sistemasi kasrlar ustida amallar baja-rishda qulay edi, qo'shimcha qoida talab etmas edi. Bunda oxirgi natijada xona birligi ko'rsatilsa bas!
Hozir biz burchaklarni, vaqtni o'lchashda ishlatiladigan 60 li sistema bobillik astronomlardan kelgan (bir soat 60 daqiqa, daqiqa 60 soniya). Matematika tarixchilarining aytishlaricha, o'lchovlar orasida eng qadimgisi og'irlik o'lchovi, keyingisi esa yuz o'lchovi hisoblanadi. Birinchi bo'lib oziq-ovqat, ikkinchi bo'lib maydonlar o'lchangan. Bu ma'lum yerga ketadigan urug'ni bilishga, shuningdek, ma'lum yerdan olinadigan hosilni bilishga xizmat qilgan.
Dehqonchilik vujudga kelishi bilan, to'g'ri to'rtburchakli maydonlar qadamlab, boshqa formadagi maydonlar esa ular perimetrlarining uzunligi bilan o'lchangan. Keyinchalik maydonlarning atrofiga to'g'ri to'rtburchak yasab, uning bo'yi bilan enini ko'paytirishgan. Hosil bo'lgan yuzdan ortiqcha joylarini ayirib tashlagan. Ortiqcha joylarni to'g'ridan-to'g'ri o'lchashmagan balki sepish uchun ketadigan g'alla miqdori bo'yicha aniqlangan. Ular aniq uzunlikdagi jo'yakka ketadigan urug' miqdorini ol-dindan bilgan.