1. taqribiy hisob absolyut va nisbiy xato sonlarni yaxlitlash usullari

Planimetriya aksiomalari
Tegishli aksiomalar.

• 
  Qanday chiziq bo'lmasin, bu chiziqqa tegishli bo'lgan va unga tegishli bo'lmagan fikrlar mavjud.
  
• 
  Ikkala nuqta orqali siz chizishingiz mumkin, va faqat bittasi.
  

Joylashuv aksiomalari.

• 
  Chiziqdagi uchta nuqtadan bittasi va bittasi qolgan ikkitasi orasida yotadi.
  
• 
  Chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi.
  

O'lchov aksiomalari.

• 
  Har bir segment noldan kattaroq ma'lum bir uzunlikka ega. Segment uzunligi - uning har qanday nuqtalariga bo'lingan qismlarning uzunliklari yig'indisi.
  
• 
  Har bir burchak noldan kattaroq ma'lum bir o'lchovga ega. Kengaytirilgan burchak 180 daraja. Burchakning daraja o'lchovi uning tomonlaridan o'tgan har qanday nurga bo'lingan burchaklarning daraja o'lchovlari yig'indisiga teng.
  

Kechiktirish aksiomalari.

• 
  Har qanday yarim chiziqning boshidan boshlab, siz berilgan uzunlikni va faqat bittasini keyinga qoldirishingiz mumkin.
  
• 
  Har qanday yarim chiziqdan berilgan yarim tekislikka har qanday burchakni 180 darajadan past darajaga va faqat bittasiga o'lchash mumkin .
  
• 
  Uchburchak nima bo'lishidan qat'iy nazar, berilgan yarim sharga nisbatan berilgan holatda unga teng keladigan uchburchak mavjud .
  

Paralelizm aksiomasi.

• 
  Belgilangan chiziqda yotmagan nuqta orqali siz tekislikka shu bilan parallel ravishda bitta chiziq chizishingiz mumkin.
  

3. HISOBLASHGA VA ISBOTLASHGA DOIR MASALALAR YECHISH

Masalalarni arifmetik, algebraik, geometrik masalalar deb turlarga ajratganda berilgan masala matematikaning qaysi tarmog‘iga oid ekanligi nazarda tutiladi. Bunday masalalar o‘z navbatida yana kichik turlarga bo‘linishi mumkin. Masalan, geometrik masalalar planimetrik yoki stereometrik masalalarga bo‘linishi va ularning har biri hisoblashga doir, yasashga doir, isbotlashga doir deb yuritiladigan uch guruhga (turga) bo‘linadi. Maktab matematika kursidagi masalalarning turlari va ularning yechish metodlari to‘g‘risida taniqli metodist olimlardan ayrimlarining bildirgan fikrlarini keltiramiz.

Masalan, L.M. Fridman, E.N. Turiteskiyning ilmiy-tadqiqot ishlari natijalariga ko‘ra maktab matematika kursidagi masalalarni bunday turlarga ajratish mumkin:
1.Obyektlarning xarakteriga ko‘ra masalalar amaliy va tadbiqiy xarakterga bo‘ladi.
2.Topshiriqlarning xarakteriga ko‘ra masalalar noma’lumlarni topish; shakl
almashtirish yoki yasash; isbotlash yoki tushuntirish xarakterida bo‘ladi.
3.Nazariyaga nisbatan masalalar standart va nostandart bo‘ladi.
Nostandart masalalar yechilish metodlari jihatidan ancha murakkab masalalar hisoblanadi. Bunday masalalarni yechish uchun:
masalaning sharti almashtiriladi; obyektlarni boshqalari orqali almashtirish yo‘li bilan berilgan masala unga teng kuchli masalaga almashtiriladi.
Ma’lum va noma’lum kattaliklar bir-biriga bog‘lanadi, masalani qismlarga bo‘linadi; berilgan masalaga aniqlik kiritish yuzasidan yordamchi elimentlar kiritiladi.
Nostandart masalaning yechimini izlash esa bunday reja asosida olib boriladi:
masala tahlil qilinadi, uning yordamchi moduli tuziladi:
Agar masalaning shartidan yanada soddaroq masalalar ajratib olish yok uni bir necha sodda masalalarga ajratib yuborish mumkin bo‘lsa, u holda bu ishni bajarib, har bir sodda masala yechiladi. Agar mumkin bo‘lmasa, u holda masalaga yordamchi elimentlar kiritilib, masalaning shaklini almashtirish mumkinligi aniqlanadi;
Agar bunday qilish mumkin bo‘lsa, u holda masalaning shakli almashtiriladi;
Agar mumkin bo‘lmasa, u holda masalaning ifodalanishi o‘zgartiriladi (masalaning modeli yasaladi), so‘ngra masala yechiladi va hakoza.
Shunday qilib, har qanday matematik masalaning yechilish jarayoni quyidagilarni o‘z ichiga oladi:
Masalaning tahlili;
Masalaning yechish usulini izlash;
Masalani yechish rejasini tuzish;
Masalani yechish rejasini amalga oshirish (4),
Yechimni tekshirish;
Masalaning javobini aniqlash;
An’anaga ko‘ra, uzoq vaqtlardan beri mashqlarni ko‘nikma va malakalarni hosil qilish uchun bajariladigan ish sifatida qarab kelingan. Bunga sabab bilimlarni ma’lum tartibga tushgan sestima sifatida emas, balki majmua sifatida tasavvur qilish, shuningdek, dars strukturasini uy vazifasini tekshirish, yangi materialni bayon qilish, uyga vazifa berish kabi bosqichlardan iborat deb tushinishdir. Haqiqatan ham, bundan 20-30 yillar ilgari nashr etilgan – metodik adabiyotlarda huddi shunday yondashish mavjud edi.
Hatto hozirgi paytlarda ham ayrim o‘qituvchilar faolyatida bunday holatlarni uchratish mumkin. Natijada maktab o‘qituvchilaridan ayrimlari mashqlarga e’tiborsizlik bilan qaraydilar. U yoki bu sabablarga ko‘ra o‘tilmay qolgan darslarning o‘rnini bosish uchun mashqlarga ajratilgan soatlar miqdorini qisqartiradilar. Ular
« yangi materialni o‘rgatsam bo‘lgani, misol masalalarni yechish shartmi », degan kayfiyat bilan ish ko‘radilar.
Keyingi yillarda pedagog, psixolog, metodistlar (M.I.Maxmutov, Yu.K Babanskiy, Ya.I Lerner, T.I.SHamov, A.N.Leont’ev, Yu.M.Kolyagin, G.I.Saratisev, N.R.G‘aybullayev, T.To‘laganov, R.A.Habib va boshqalar ) olib brogan ilmiy-tatqiqot ishlari o‘qitish jarayonida mashqlarga bo‘lgan qarashlarni tubdan o‘zgartirib yubordi. Gap shundaki, darsliklardagi har bir mashqning o‘z o‘rni, roli va vazifasi bor. Ulardan birortasini ham tushirib qoldirish mumkin emas. 1950- yillardagi darsliklarni ko‘zdan kechirsak, ulardagi mashqlar soni ancha ko‘pligiga ko‘zimiz tushadi. Hozirgi darsliklarda esa har bir soatiga o‘rtacha 4-5 ta mashq to‘g‘ri keladi. Hatto ba’zi sinflar uchun darsliklarda sinfda bajariladigan va uyda bajariladigan mashqlar alohida-alohida qilib ko‘rsatilgan. Shuning uchun har mashqlarni ko‘zdan o‘qitish zimmasidagi vazifalardan biri sanaladi.
Maktab matematika kursidagi mashqlarni, ularning ta’lim jarayonidagi vazifalari (funksiyalari)ga qarab:
- didaktik xarakteridagi, ya’ni bugun o‘tilgan mavzu-tushuncha, qonun-qoidalarni mustahkamlashga oid mashqlar;
bilish xarakteridagi, ya’ni uni yechish uchun bugungi mavzuni bilishdan tashqari yana avvallari o‘tilgan mavzularni ham bilish talab etiladigan mashqlar;
rivojlantirish xarakteridagi, ya’ni ularni yechish uchun bugungi mavzuni, avvallari o‘tilgan mavzularni bilishdan tashqari, biroz bo‘lsa ham, ijodiy yondoshish talab etiladigan mashqlar deb uch guruhga bo‘lish metodik jihatdan ma’qullangan. Ba’zi ilmiy metodik adabiyotlarda o‘quvchilar bilimini nazorat qilishga oid mashqlar, ta’limiy xarakterdagi mashqlar degan iboralar ham uchraydi. Masalan, professor N.R G‘aybullayevning ilmiy ishlarida « matematikadan ta’limiy praktikum « iborasi uchraydi. Bunda muallif amaliy bajarish jarayonida o‘quvchilarga matematikaga oid bilim berishni nazarda tutadi. O‘qitish jarayonida mashqlar turli yo‘nalishlarda namoyon bo‘lishi mumkin:
bilimlarni o‘zlashtirish, mustahkamlash vositasi (masalan, « to‘la kvadrat tenglama ildizlarini topish formulasi « mavzusi);

o‘qitish metodlarini qo‘llash shakli (masalan, mashqlarni induktiv yoki deduktiv yo‘l bilan bajarish);

Bilim, malaka va ko‘nikmalarni o‘zlashtirganlik darajasini nazorat qilish vositasi (masalan, yozma ishlar o‘tkazish );
Iqtidor va qobilyatlarni rivojlantirish, aniqlash vositasi (masalan, turli musobaqa, konkurs, olimpiadalar o‘tkazish ) va hokozo.
Mashq bilan masala tushunchalari o‘rtasidagi umumiylik va farqlanishlar mavjudmi, agar mavjud bo‘lsa ular nimalardan iborat degan savol paydo bo‘ladi
Aslini olganda, masalada inson bilan biror vaziyat (holat) o‘rtasida o‘zaro aloqa sodir bo‘ladi. Shuning uchun mashqni masalaning hususiy holi deb qarash mumkin. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, har qanday topshiriq ham mashq vazifasini bajaravermaydi masalan « tenglamani yeching » deyilsa, u holda bu topshiriq 8- sinf o‘quvchilari uchun mashq vazifasini bajaradi, chunki ular keltirilgan kvadrat tenglama va uning ildizlarini topish formulasi bilan tanishganlar. Lekin bu topshiriq 6-sinf o‘quvchilari uchun mashq vazifasini bajarmaydi, chunki ular bunday tenglamalarni yechishni o‘rganmaganlar. Demak, bundan kelib chiqadiki, biror masalani mashq qatoriga kiritish uchun undan foydalanish maqsadini, mazmunini o
o‘zlashtirishdagi uning o‘rnini, uni yechish bilan o‘quvchi faoliyati o‘rtasidagi muofiqlikni oydinlashtirish kerak. Keng ma’noda qaraydigan bo‘lsak, maktabda matematika o‘qitish, asosan, o‘quvchilarni masalalar yechishga o‘rganilgan nazariy bilimlarni amalda tadbiq etishga o‘rgatish demakdir. Shuning uchun ham maktabda matematikani o‘qitishga ajratilgan vaqt (soatlar)ning deyarli yarmidan ko‘pini masalalar yechish tashkil qiladi. Taniqli psixolog A.N.Leontev fikriga qaraganda, masala – u ma’lum shartlarda (yaqqol vaziyatlarda) berilgan maqsaddir V.I.Krupich masalalarning tuzilishini tashqi tuzilish ob’yektlari haqida ma’lumot beradi. Masalan « ikki korxona », « ikki ishchi », « bir yo‘nalish bo‘yicha harakatlanayotgan » va hokozo.
Bu tuzilish masalaning muammoli (qiyinlik) darajasini belgilaydi. Ichki tuzilish esa masala yechilishining strategiyasini (yechish usulini reja asosini) va uning murakkablik darajasini belgilaydi. Shuning uchun ham maktabda matematika o‘qitishning nazariy asosini masalalarning ichki tuzilishi, masalalar, yechilishining mantiqiy tuzilishini izlash, masalalar yechishning umumlashgan yo‘li va boshqalar tashkil qiladi.
Xulosa qilib aytganda maktab matematika kursida qaraladigan mashqlar quyidagi alomat (belgi)larga ega bo‘lishi kerak:
o‘quvchilar bilim, malaka va ko‘nikmalarini o‘zlashtirishlari mustahkamlashlari uchun vosita.
o‘quvchilarning bilim malaka va ko‘nikmalarini nazorat qilish usuli.
o‘quvchilar – bilish faoliyatlarini tashkil qilish va boshqarish usuli.
darsni tashkil qilish shakllaridan biri.
o‘qitish metodlarini namoyon bo‘lish vositasi.
o‘quvchilar iqtidor va qobilyatlarini nomoyon bo‘lish vositasi .
nazariyani amaliyot bilan aloqasini o‘rnatish vositasi (masalan, bir so‘mni yarimta odamga bo‘lib bering deyilsa, darhol 1 ni ga bo‘lib, javobda 2 ni hosil qilamiz. Endi mulohaza yuritaylik: pulning o‘zi bir so‘m bo‘lsa, uni bo‘lib bergandan keyin nega 2 so‘m bo‘lib qoldi? masala shartini amaliyotga - hayotga (voqelikka) tatbiq etaylik: aslida yarimta odam bo‘ladimi? Bo‘lmaydi. Demak, bunday muammoni o‘rtaga qo‘yishning o‘zi noto‘g‘ri ).
Aytilganlargan ko‘rinib turibdiki, mashqlar o‘quvchilar –bilish faolyatlari turlaridan biri hisoblanadi, chunki mashqlar aniq maqsadlar,shuningdek vositalar, metodlarga ega.
Matnli algebraik masalalar yechish o‘qitishning tatbiqiy yo‘nalganligini kuchaytirish vositalaridan biri sifatida qarash mumkin. B.M.Monaxov, G.M.Sarantisiyev, YU.M.Kolyagin, G.L.Luknin, B.B.Firsov, N.RG‘aybullayev, T.To‘laganov va boshqa tatqiqotchilarning ishlarida « o‘lkashunoslikka oid masalalar », « amaliy masalalar », « tatbiqiy masalalar « degan tushuncha – terminlar (atamalar) uchraydi. « bunday masalalarning o‘zaro munosabatlari qanday bo‘ladi? » degan savolning tug‘ilishi tabiiydir. Javobni Eyler-Venn diagrammalari yordamida, ko‘rsatmali qilib, quyidagicha tasvirlash mumkin;

O‘lkashunoslik masalalari Amaliy masalalar

Tatbiqiy masalalarda esa uni yechish jarayonida matematikaning tatbiqiga doir metodlardan foydalanadi. Matnli algebraik masalalar yechilishi nazariyani amaliyot bilan bog‘lashning, matematika o‘qitishning amaliy va tatbiqiy yo‘nalganligini ko‘chaytirishning tabiiy bir yo‘lidir. Matematik amalning mazmunini, amallar orasidagi bog‘lanishlarni, amal kompanentlari bilan natijalari orasidagi bog‘lanishlarni ochib berishda, har xil miqdorlar orasidagi bog‘lanishlar bilan tanishishda matnli masalalardan o‘rinli va unimli foydalanish zarur. Har qanday tatbiqiy (matnli) masalalarni yechish uch bosqichni o‘z ichiga oladi:

Formallashtirish. Bu bosqichda masalaning modeli tuziladi, ya’ni so‘zlar yordamidagi ifodalarni simvollar yordamida yozildi va matndagi kattaliklar ma’lum va noma’lumlar orasidagi munosabat(lar) o‘rnatiladi.
Tuzilgan matematik model ichida masalani yechish. Bu bosqichda tuzilgan tenglama (yoki tengsizliklar sistemasi), shuningdek, tengsizlik, (yoki yoki tengsizliklar sistemasi) yechilib, ularning ildizlari topiladi.
Talqin qilish (interpretatisiya). Topilgan yechim dastlabki holatga tatbiq etiladi. Bu bosqichlarni sxematik ravishda quyidagicha tasvirlash mumkin:


Natijalarning mazmun jihatidan talqin qilish

Masalaning formal matematik modeli ichidagi yechimini topish

Masalaning formal
Matematik modelini qurish

Tatbiqiy, ya’ni matnli algebraik masalaning formal matematik modelini ko‘rish jarayoni qanday bo‘ladi, ya’ni model yaratishda nimalarga e’tibor berish kerak degan savol tug‘iladi.
Shuni aytish kerakki, har qanday tabiiy, jumladan matnli algebraik masala nafaqat biror real jarayonni, ob’yektni, shu bilan birga qaralayotgan jarayon, ob’yektga tegishli bo‘lgan muammoni, real vaziyatni ham tasvirlaydi. Shuning uchun matematik model qurish jarayoni, ob’yekti deb masala shartiga mos keluvchi real vaziyatlar qabul qilinadi. Matematik model formal matematik masala bo‘lib, u ham o‘sha real vaziyatni tasvirlaydi, lekin bu tasvir so‘zlar vositasi emas balki simvolik tilda (tenglama, tengsizlik, tenglamalar yoki tengsizliklar sistemasi va ho kazo) bayon etilgan bo‘ladi. Masalan; “ Matorli qayiq daryo oqimiga qarshi 16 km suzdi va orqasiga qaytib, qaytishdagi yo‘lga oldingisiga qaraganda 40 minut kam vaqt sarfladi. Agar daryo oqimining tezligi 2 km/soat bo‘lsa, qayiqning turg‘un suvdagi tezligini toping “ - bu masala matni, uning matematik modeli esa
+ = kabi ko‘rinishga ega bo‘ladi. Modelni qurishdagi eng muhim tamonlardan biri, yuqori aytganimizdek, real vaziyatni hisobga olishdir. Keltirilgan masala mohiyatiga ko‘ra qayiqning tezligi 2 km/soatdan, ya’ni daryo oqimi tezligidan katta bo‘lishi kerak, aks holda masala real ma’noga bo‘lmay qoladi.
Shundan qilib, matnli algebraik masala matematik modelini qurishdagi chegaralarni aniqlash kiradi. Shuni alohida takidlash kerakki, o‘quvchilarni matnli masalalarni tenglama ( yoki tenglamalar sistemasi) tuzish yordamida yechishga o‘rgatish jarayonidagi muhim bosqich so‘zlar orqali ifodalangan masala matnini simvollar orqali ifodalashdir. Boshqacha aytganda, bu bosqichda oddiy tildan (ona tilidan) simvolik tilga (algebra tiliga) o‘tiladi. O‘qitishning dastlabki davrlarlarida matnli masalalarning so‘zlar va simvollar yordamidagi yozuvlarini yonma-yon keltirish maqsadga muvofiqdir. Misol tariqasida quyidagi masalani olaylik:
« Bir oila pudratida ikkinchisidan uch marta kam ishchi bor edi. Birinchi pudratga 4 kishi kelib, ikkinchisidan 2 kishi ketgandan keyin birinchi pudratdagi ishchilar soni ikkinchisidagidan 2 marta kamayib ketdi. Dastlab har bir qaysi pudratda qanchdan ishchi bo‘lgan? »

MASALANING IFODALANISHI

N	So‘zlar yordamida	Simvollar yodamida
1	Birinchi pila pudratdagi ishchilar soni
2	Ikkinchi pudratdagi ishchilar soni
3	Birinchi pudratga 4 kishi kelib qushilgandan keyingi ishchilar soni.
4	Ikkinchi pudratdagi 2 kishi ketgandan keyingi ishchilar soni.
5	Birinchii pudratga ikkinchisidagidan 2 marta kam ishchlar soni

Demak, masala yechilishining modeli bunday:

Ma’lumki, tatbiqiy masalalarni yechishdagi samadorlk har tamonlama so’zlar bilan ifodalangan masala matnini simvollar yordamida belgilashga- masalaning fomal matematik (simvolik) modelini yaratishga bog‘liq. Masala shartiga mos modelni qurish va turli usullar bilan amalga oshirish mumkin. Masalan, aytaylik, bizga quyidagi matnli masalani yechish kerak bo‘lsin:
« Brigada a’zolari 600 ta detal tayyorlashi kerak edi. Lekin 5 nafar ishchini boshqa ishga o‘tkazilishi sababli qolgan ishchilarning har biri 10 tadan ortiq detal tayyorlashlari kerak to‘g‘ri keldi. Dastlab brigadada nechta ishchi bo‘lgan? » YECHILISHI:
1 - Usul
1) dastlabki ishchilar soni -
2) aslida ishlagan ishchilar soni –
3) dastlab har bir ishchi tayyorlash kerak bo‘lgan detallar soni - ;
4) aslida har bir ishchi tayyorlagan detallar soni - ;
Masala shartiga ko‘ra: - =10; bundan
2 - usul (sxema tuzib yechish).
Dastlabki ishchilar sonini bilan belgilaymiz. U holda:

	Detallar soni	Ishchilar soni	Bir ishchining normasi
Dastlab	600
Aslida	600

Shart bo‘yicha bundan

Agar bizdan brigadada aslida ishlagan ishchilar sonini topish talab qilinganida edi, u holda tenglamamiz quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi;
, bundan

Garchi bu usul biroz qo‘shimcha amallarni bajarishga olib kelsa ham, uni ko’zdan kechirish foydadan holi emas.

3 - usul. Bunda orqali bir ishchi tayyorlashi kerak bo‘lgan normani belgilaymiz. U olda yuqoridagi mulohazalar quyidagi jadvalni tuzishga olib keladi:

	Detallar soni	Ishchlar soni	Bir ishchining normasi
Dastlab	600
Aslida	600

Tenglamasi : =5, bundan

4 - usul. orqali aslida bajarilgan normani (detallar sonini) belgilaymiz. U holda masala shartiga doir sxema bunday ko‘inishni oladi:

	Detallar soni	Ishchilar soni	Bir ishchining normasi
Dastlab	600
Aslida	600

Tenglamasi: - =5, bundan
Ko‘rinib turibdiki, masalada 4 ta noma’lum kattalik ishtirok etayotir (dastlabki ishchilar soni, aslida ishchlar soni, bir ishchining dastlabki normasi, bir ishchining aslida bajargan normasi). Bu noma’lumlardan qaysinisini x orqali belgilab olish masala yechuvchining mohirligiga bog‘liq. Huddi ana shu ish masalani eng ratsional usul bilan yechish demakdir. Lekin boshqa kattalikni noma’lum sifatida x orqali belgilab tenglama tuzilganda ham, natija biroz murakkabroq yo‘l bilan bo‘lsa-da, uni ijobiy hal qilishga olib keladi. O‘quvchilar bilan bir masaladagi noma’lumlarni navbat bilan orqali belgilab, uni yechish o‘quvchilarga ijodiy fikrlashni tarbiyalaydi. Bunda bir usul bilan bir necha masala yechgandan ko‘ra bir masalani bir necha usullar bilan yechish afzal ekanligi yaqqol namoyon bo‘ladi. Fikrimizni tasdiqlash maqsadida yana bir masalani turli usullar bilan yechamiz.
« Yo‘lovchi poyezdning o’rtacha tezligi yuk poyezdnikidan soatiga 20 km ortiq. Shuning uchun ham u 700 km masofani yuk poyezdiga qaraganda 4 soat tezroq vaqtda bosib o‘tdi. Har ikkala poyezdlarning tezliklarini va sarflagan vaqtlarini aniqlang » .
YECHILISHI.
Masalada 4 ta kattaliklarni aniqlash talab qilinganligi uchun ulardan qaysisini orqali belgilash unchalik muhim rol o‘ynamaydi.
1 - usul orqali yo‘lovchi poyezdining tezligini belgilaymiz. U holda:

	Masofa	Tezlik	Vaqt
Yo‘lovchi poyezdi	700
Yuk poyezdi	700

Masalaning shartiga asosan ushbu tenglama to‘ziladi, bundan, aniqlanadi.
- usul orqali yuk poyezdining shu masofaga sarflagan vaqtini belgilaymiz.
U holda

	Masofa	Tezlik	Vaqt
Yuk poyezdi	700
Yo‘lovchi poyezdi	700

tenglamasi: bundan: .

.3 - usul. orqali yuk poyezdining tezligini belgilaymiz. U holda:

	Masofa	Tezlik	Vaqt
Yuk poyezdi	700
Yo’lovchi poyezdi	700

tenglamasi: bundan:

- usul. orqali yo‘lovchi poyezdining vaqtini belgilaymiz. U holda:

	Masofa	Tezlik	Vaqt
Yuk poyezdi	700
Yo’lovchi poyezdi	700

tenglamasi: ,, bundan

Xuddi shunga o‘xshab yechiladigan masalalarni yechishda sinf o‘quvchilarini guruhlarga ajratib, har bir guruhga alohida- alohida usullari tavsiya etib, ya’ni musobaqa darsi o‘tkazish ham yaxshi samara beradi.