1. Текисликда тўғри чизиқ тенгламалари Текисликда тўғри чизиқлар орасидаги муносабатлар Иккинчи тартибли эгри чизиқлар

Парабола. Парабола деб, текисликдаги шундай нуқталар тўпламига айтиладики, бу нуқталардан берилган нуқтагача бўлган масофа бу нуқтадан ўтмайдиган берилган тўғри чизиққача бўлган масофага тенг. Берилган нуқта параболанинг фокуси, берилган тўғри чизиқ эса унинг директрисаси дейилади. улар орасидаги масофа эса гиперболанинг фокал масофаси дейилади. Фокуси ва берилган тўғри чизиқ орасидаги масофа параболанинг фокал параметри дейилади ва у билан белгиланади. Параболанинг тенгламасини келтириб чиқарамиз. Бунинг учун координаталар системасини шундай жойлаштирамизки, бунда абсциссалар ўқи параболанинг директрисасига перпендикуляр бўлиб фокуси орқали ва ўтсин. Абсциссалар ўқининг парабола директриса билан кесишиш нуқтасини билан белгилаймиз, координаталар боши деб кесманинг ўртасини танлаймиз, ўқининг мусбат йўналишини векторнинг йўналиши билан бир хил қилиб танлаймиз (рис.2.13). Бу координаталар системасида фокус координаталари тенг, директрисаси эса ушбу тенглама билан аниқланади
, или .







0

Расм 2.13

Фараз қиламиз параболанинг ихтиёрий нуқтаси бўлсин. нуқтадан диретрисага перпендикуляр туширганимизда, унинг асоси бўлсин. кесманинг узунлиги, нуқтадан директрисагача бўлган масофага тенг. нуқтадан фокусгача бўлган масофа эса кесманинг узунлигига тенг. У ҳолда парабола нуқталарининг координаталари ушбу тенгламани қаноатлантиради:

.
Тенгламанинг иккала томонини квадратга кўтариб, ўхшаш ҳадларни ихчамласак:
(26)
Ҳосил бўлган (26) тенглама параболанинг каноник тенгламасидир.
Мисол 13. Парабола тенгламаси берилган. Параболадан фокусгача масофаси 1 га тенг бўлган, параболада ётувчи нуқтани топинг.
Ечиш. Кўриниб турибдики , у ҳолда ва парабола фокуси нуқтада жойлашган. - параболадаги қидирилаётган нуқта бўлсин. Масала шартидан бу нуқтадан фокусгача бўлган масофа бирга тенг. ва координаталарни топиш учун ушбу тенгламалар системасини ечиш керак:

Тенгламалар системасини ечиб қуйидагини ҳосил қиламиз:

У ҳолда и . Демак, фокусгача масофаси бирга тенг бўлган иккита нуқта мавжуд экан:
ва .
Парабола графиги шаклини текширамиз. Парабола тенгламасидан (26) кўриниб турибдики, парабола графиги тўла ҳолда соҳада ётиб, ўқга нисбатан симметрикдир. Ҳақиқатан ҳам, агар нуқта параболада ётса, у ҳолда нуқта ҳам параболада ётади (расм 2.14). Параболанинг симметрик ўқи, параболанинг ўқи дейилади. Парабола (26) графиги симметрия ўқини нуқтада кесиб ўтади ва бу нуқта параболанинг учи дейилади.
Тенглама
,
парабола бўлиб, графигининг шакли (26) парабола графиги кабидир, лекин унинг симметрия ўқи координаталар ўқидан иборат.









0
Расм 2.14