1. Tenglamalar tasnifi teng kuchli tenglamalar. Tenglama

4.Qaytma va yuqori darajali tenglamalar.
1-teorema. Agar
xⁿ + a₁x^n-1+ . . . + a_n-1x+ a_n = 0 (2)
butun koeffitsientli tenglama butun yechimga ega bo’lsa u holda bu yechim ozod hadning bo’luvchisi bo’ladi.
Isboti. Teoremaning shartiga ko‘ra (2) butun koeffitsientli bo‘lib, butun x = k yechimga ega, ya‘ni kⁿ + a₁k^n-1+ . . . + a_n-1k+ a_n =0 bo‘lib, bundan a_n = k (- k^n-1- a₁k^n-2- . . . -a_n-1) bo‘ladi.Hosil qilingan natijaning o‘ng tomoni ikkita butun sonning ko‘paytmasi bo‘lganligi uchun a _n k bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi. 2-teorema. Agar butun koeffitsiyentli (1) tenglama (p, q) =1, ratsional ildizga ega bo’lsa, u holda p ozod hadning bo’luvchisi, q bosh had koeffitsiyenti a₀ ning bo’luvchisi bo’ladi.
Isboti. Teoremaning shartiga ko‘ra (p, q) =1 (1) ning ildizi bo‘lgani uchun a + . . . + a_n- = 0 (3)
bo‘lib, bundan
a₀pⁿ+a₁p^n-1q+…..+a_n-1 pq^n-1+a_nqⁿ=0 (3‘)
hosil bo‘ladi. Bu(3‘) dan a_nqⁿ=p(-a₀p^n-1-a₁p^n-2q- a₂p^n-3q²-………- a_n-1 q^n-1) (4)
hosil bo‘lib, bundan a_n ning p ga bo‘linishi ko‘rinib turibdi. Xuddi shunga o‘xshash, (4) dan a₀ ning q ga bo‘linishini ko‘rsatish mumkin. Shu bilan teorema isbot qilindi.
5. Modul qatnashgan tenglamalar tasnifi

6.Sonli tengsizliklar va ularning xossalari.

81. 
    Sonli tengsizliklar haqida. I. Somli tengsizliklar va ularning xossalari. Ta’rif: Agar ayirma musbat son bo’lsa, soni b sonidan katta deyiladi va bu munosabat shaklida yoziladi. Agar ayirma manfiy bo’Isa, soni sonidan kichik deyiladi va shaklida yoziladi. Istalgan va sonlar uchun quyidagi uchta munosabatdan faqat bittasi o"rinli:
    

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   Sonli tengsizliklar quyidagi xossalarga ega:
   Agar va bo’lsa, bo’ladi (tengsizlik munosabatini
   tranzitivlik xossasi).
   . Agar va bo’lsa, bo’ladi.
   . Agar va bo’lsa, bo’ladi.
   . Agar va bo’lsa, bo’ladi.
   . Agar va bo’lsa, bo’ladi.
   . Agar va bo"lsa, bo’ladi toq son bo’lganda
   shart ortigcha).
   
4. 
   Tengizliklarni isbotlashning wsullari haqida.
   I-misol. Istalgan va sonlari uchun
   ekanligini isbotlang.
   

Yechilishi. Istalgan va sonlari uchun
ayirmani manfiy emasligini ko’rsatamiz:

Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish.
Ko’rsatkichli funksiyalar xossalari.
Irratsional tenglama sistemasi tasnifi.
Logarifmik funksiyalar xossalari.
Irratsional tenglamalar sistemasini yechishning turli usullari.
Ko’rsatkichli ifodalarni ayniy almashtirish.
Tengsizliklarni isbotlash.
Logarifmik ifodalarni ayniy almashtirish.
Irratsional tengsizliklar sistemasi tasnifi.
Ko’rsatkichli tengsizliklar tasnifi.
Irratsional tengsizliklar sistemasini yechishning turli usullari.
Logarifmik tengsizliklar tasnifi.
Ko’rsatkichli tengsizliklar xossalari.
Parametr qatnashgan tenglama va ularning sistemalari tasnifi.
Logarifmik tengsizliklar xossalari.
Parametr qatnashgan tenglama ularning sistemalari xossalari.
Ko’rsatkichli tengsizliklarni yechish usullari.
Logarifmik tengsizliklarni yechish usullari
Bo’linish belgilari. Qoldiqli bo’lish. Tub va murakkab sonlar.
EKUB va EKUK. Irratsional sonlar.
Logarifmik tengsizliklar xossalari.
Modul qatnashgan tengsizliklar.
Irratsional tengsizliklar sistemasi tasnifi.
Natural sonlarning kanonik yoyilmasi.