1. Topologiya kiritishning turli usullari. Akslantirishlar yordamida kiritilgan topologiya

Tasdiq 2. - to’plam va (ВР1) - (ВР3) shartni qanoatlantiruvchi oila berilgan bo’lsin. bilan ko’rinishdagi to’plam ostilari oilasini belgilaymiz. U holda oila topologiyaning (О1) - (О3) shartlarini qanoatlantiradi. Hosil bo’lgan topologiyaga - atroflar oilasi tomonidan qurilgan topologiya deyiladi.
Isboti. oilanini (О1) - (О3) shartni qanoatlantirishini ko’rsatamiz. (О1) shartni tekshiramiz. bo’lsin, u holda bo’ladi. Demak, ekan. Ixtiyoriy nuqta uchun oilani qaraylik. U holda bo’ladi. Demak, ekan.
Endi (О2) xossani ko’rsatamiz. bo’lsin, u holda va bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Faraz qilaylik bo’sh bo’lmagan ochiq to’plam bo’lsin, u holda bo’ladi. Demak, (О2) shart bajariladi.
Endi (О3) shartni bajarilishini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun bo’lsin, bunda indekslar to’plami. U holda ixtiyoriy uchun ta’rifga asosan bo’ladi. U holda bu ociq to’plamlarning birlashmasini qaraylik, ya’ni . Bundan ekanligi kelib chiqadi. Tasdiq 2 isbotlandi.
Misol 4. Tekislikda shartni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’plamini, ya’ni yopiq yarim tekislikni bilan belgilaymiz. to’g’ri chiziq nuqtalar to’plamini bilan belgilaymiz va bo’lsin. Ixtiyoriy nuqta va uchun bilan shunday nuqtalarni belgilaymizki, bunda to’g’ri chiziqning nuqtasiga urinuvchi va radiusli ochiq doiraning ichki qismini belgilaymiz. Bunda bo’lsin. Ixtiyoriy nuqta va atrof bilan radiusi ga teng bo’lgan va markazi nuqtada bo’lgan doiraning ichki qismini belgilaymiz. bo’lsin. - oila, bunda ochiq to’plamlar sistemasi (ВР1) - (ВР3) shartlarni bajarilishini osongina isbotlash mumkin.