1. Topologiya kiritishning turli usullari. Akslantirishlar yordamida kiritilgan topologiya

Tasdiq 8. topologik fazoni ko’paytmaga akslantiruvchi uzluksiz bo’lishi uchun har bir uchun akslantirishlar kompozisiyasi uzluksiz bo’lishi zarur va etarlidir.
Mashqlar
1. - to’lam va bu to’plamda va qism to’plamlari berlgan bo’lsin. U holda va munosabatlar o’rinli ekanligini isbotlang.
Yuqoridagi munosabatlarda tenglik o’rinli emasligiga misol keltiring.
2. - to’lam va bu to’plamda , , qism to’plamlari berlgan bo’lsin. Quyidagilarni isbotlang:
а) ;
б) ;
в) faqat va faqat shundaki, agar ;
г) ;
д) .
3. - to’plam va - to’plamlar oilasi berilgan bo’lsin. U holda quyidagilarni isbotlang:
а) ;
б) ;
в) .
4. - to’plam va uning - to’plam ostilari berilgan bo’lsin. U holda quyidagilarni isbotlang:
а) ;
б) .
Yuqoridagi munosabatlarga De Morgan formulalari deyiladi.
5. Agar va to’plamlarning quvvatlari teng bo’lsa, u holda ekanligini isbotlang.
6. Umuman olganda va dan kelib chiqmasligini ko’rsating.
7. Agar va - sanoqli to’plam bo’lsa, u holda sanoqli to’plam bo’lishini ko’rsating.
8. Если - несчетное множество, а - его счетное подмножество, то .
9. Sanoqli sondagi chekli to’plamlarning birlashmasi sanoqli to’plam bo’lishini ko’rsating.
10. Sanoqli sondagi sanoqli to’plamlarning birlashmasi sanoqli to’plam bo’lishini ko’rsating.
11. Ikkita (chekli) sanoqli to’plamlarning ko’paytmasi sanoqli to’plam bo’lishini ko’rsating.
12. Sanoqli to’plamning aksi (obrazi) (ixtiyoriy akslantirishda) sanoqli to’plam bo’lishini ko’rsating.
13. Bizga akslantirish, - to’plamning qandaydir to’plam ostilaridan tuzilgan oila va - to’plamning to’plam ostilaridan tuzilgan oila berilgan bo’lsin. Quyidagilarni isbotlang:
(a)
(b)
(c)
Quyidagi tenglik o’rinli bo’lmaydigan akslantirishga misol keltiring.
14. Bizga - akslantirish, va to’plamlar berilgan bo’lsin. Quyidagini isbotlang:

(a) va

(b) bo’lisi uchun shartning bajarilishi zarur va etarli ekanligini isbotlang.
(c) Tenglikni isbotlang.
15. Bizga to’plamni to’plamga akslantiruvchi akslantirish berilgan bo’lsin. U holda bo’lishni ko’rsating.
16. - butun sonlar to’plami berilgan bo’lsin va ning barcha chekli to’plam ostilaridan tuzilgan to’plamni bilan belgilaymiz va ham ga tegishli bo’lsin. oilani (С1) - (С3) shartlarni bajarishini ko’rsating.
17. - elenentlari cheksiz to’plam berilgan bo’lsin va ning barcha chekli to’plam ostilaridan tuzilgan to’plamni bilan belgilaymiz va ham ga tegishli bo’lsin. oilani (С1) - (С3) shartlarni bajarishini ko’rsating.