1. Topologiya kiritishning turli usullari. Akslantirishlar yordamida kiritilgan topologiya

Ta’rif 2. Bizga - topologik fazo berilgan bo’lsin. To’plam yopiq deyiladi, agar uning to’ldirmasi - ochiq to’plam bo’lsa.
Bizga ma’lumki, topologiya (О1) - (О3) shartlarini qanoatlantiruvchi barcha to’plamlar ochiq edi. Uning to’ldirmasi ta’rif 2 ga asosan yopiq to’plam bo’ladi. Bu yopiq to’plamlar oilasini bilan belgilaymiz. De Morganning ikkilik qonuniga asosan oila quyidagi xossalarga ega bo’ladi:
(С1) va shart bajariladi.
(С2) Agar va , u holda shart o’rinli bo’ladi.
(С3) Agar bo’lsa, u holda o’rinli bo’ladi.
Yuqoridagi xossalarni quyidagicha ham yozish mumkin:
(С1’) Butun fazo va bo’sh to’plam yopiq to’plam.
(С2’) Ikki yopiq to’plamning birlashmasi yana yopiq to’plam bo’ladi.
(С3’) Ixtiyoriy sondagi yopiq to’plamlarning kesishmasi yana yopiq to’plam bo’ladi.
Isboti. (С1’) xossaning isboti ravshan. (С2’) ning isboti de Morgan qonunidan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, bizga yopiq to’plamlar oilasi dan olingan ikki yopiq to’plamlar berilgan bo’lsin. To’ldirma ta’rifiga ko’ra uchun ochiq to’plamlar bo’ladi.
Quyidagini birlashmani qaraylik, , u holda ikkita ochiq to’plamninig kesishmasi - ochiq to’plam bo’lganligidan, to’ldiruvchi to’plamning yopiq ekanligi kelib chiqadi.
(С3’) Bizga yopiq to’plamlar oilasi berilgan bo’lsin. To’dirma ta’rifiga ko’ra, har bir uchun to’plam ochiq bo’ladi. Quyidagi kesishmani qaraylik, . U holda (О3) shartga asosan to’plam ochiq bo’ladi. Bundan to’plamning yopiq ekanligi kelib chiqadi.
Ta’rif 3. Agar to’plam bir vaqtda ham ochiq ham yopiq bo’lsa u holda bunday to’plamga ochiq-yopiq to’plam deyiladi.
Tasdiq 1. - to’plam va uning to’plam ostilaridan tuzilgan - oila quyidagi (В1) - (В2) shartlarni qanoatlantirsin:
(В1) Ixtiyoriy ikki element va ixtiyoriy nuqta uchun shunday element topilib shart bajariladi.
(В2) Ixtiyoriy nuqta uchun shunday element topilib, shart bajariladi.
- oilaning barcha to’plam ostilari birlashmasidan tuzilgan oilani bilan belgilaymiz, ya’ni faqat va faqat , bunda oila ning qandaydir oila ostisi. Bu holda oila topologiyaning (О1) - (О3) shartlarini qanoatlantiradi. oila topologik fazoning bazasi deyiladi. topologiyaga baza orqali kiritilgan topologiya deyiladi.
Isboti. 1) Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. U holda bo’ladi. (О1) shart bajarildi.
2) bo’lsin. U holda va bo’ladi, bunda , va . Endi bu to’plamlarning kesishmasini qaraylik .
(В1) shartga ko’ra ixtiyoriy nuqta uchun shunday atrof topilib, bo’ladi. Quyidagini qo’yamiz. U holda bo’ladi. Demak, bo’ladi. (О2) shart bajarildi.
3) Ochiq to’plamlarning ixtiyoriy birlashmasi ochiq to’plam bo’lishini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy uchun bo’lsin. U holda ta’rifga asosan , bunda . Biz ochiq to’plamninig birlashmasini qaraylik. Har bir ekanligidan munosabat kelib chiqadi. (О3) shart bajarildi.
Yuqoridagi jumlalardan oilaning topologik fazoninig bazasi bo’lishi kelib chiqadi. Tasdiq 1 isbotlandi.
Misol 3. - barcha haqiqiy sonlar to’plami, ko’rinishdagi yarim intervallarni bilan belgilaymiz, bunda va - ratsional son. - oilaning (В1) - (В2) shartlar bajarilishini ko’rsatamiz.
(В1) shartning bajarilishini ko’rsatamiz. to’gri chiziqdagi ixtiyoriy va ochiq to’plamlarni olaylik, bunda bo’lsin. belgilaymiz. U holda bo’ladi, bunda .
Endi (В2) shartning bajarilishini ko’rsatamiz. - haqiqiy sonlar to’plamidan iztiyoriy - elementini olaylik. U holda ixtiyoriy ratsiolal son uchun bo’ladi.
- bazaning elementlari ochiq-yopiq to’plamlardan iborat bo’ladi. Haqiqatdan ham bo’ladi. Biz isbot qilamiz. Faraz qilaylik, shunday oila topilib bo’lsin. Shunday nuqta topiladiki bu nuqta oiladagi ixtiyoriy elementining eng kichik nuqtasi bo’lmaydi. U holda - ochiq to’plamni ning elementlarining birlashmasi ko’rinishida yozish mumkin bo’lmaydi. Demak, - oila ning bazasi bo’lmas ekan.
- to’q’ri chiziq yuqoridagi topologiya bilan Zorgenfrey to’g’ri chizig’i deyiladi.