1. Topologiya kiritishning turli usullari. Akslantirishlar yordamida kiritilgan topologiya

Tasdiq 5. to’plam berilgan bo’lsin. to’plamni uning ga mos quyuvchi operatori (IO1) - (IO4) shartlarni qanoatlantirsin. U holda oila (О1) - (О3) shartlarni qanoatlantiradi. Hosil bo’lgan topologiyaga operatori yordamida qurilgan topologiya deyiladi.
Isboti. (О1) xossani isbotlaymiz. (IО1) xossadan kelib chiqadi. Bo’sh to’plam ning to’plam ostisi bo’lganligidan bo’ladi, bundan ekanligi kelib chiqadi.
(О2) xossani isbotlaymiz. - to’plamninig ixtiyoriy to’plam ostilarini olaylik va bo’lsin. U holda (IО3) shartdan ekanligi kelib chiqadi.
(О3) xossani isbotlaymiz. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi, bundan topologiya shartiga ko’ra ekanligi kelib chiqadi. Tasdiq 5 isbotlandi.
Misol 7. Elementlari bitta nuqtadan ko’p bo’lgan to’plam va shartni qanoatlantiruvchi to’plam osti berilgan bo’lsin. Har qanday to’plam ostiga mos qo’yamiz va bo’lsin. Bu ko’rinishdagi to’plamlarning ichi operatori (IО1) - (IО4) shartlarni qanoatlantiradi. to’plamninig barcha to’plam ostilari va fazo bu topologiyada ochiq to’plam bo’ladi. Agar bo’sh to’plam bo’lsa u holda fazo anti diskret fazo bo’ladi.
Teorema 1. Ixtiyoriy topologik fazo uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isboti. topologik fazoninig bo’sh bo’lmagan ochiq to’plam ostilaridan tuzilgan bazasi berilgan bo’lsin, bunda . Har bir uchun qandaydir nuqtani tanlab olamiz. to’plamninig da zich ekanligini ko’rsatamiz. Bundan ekanligi ma’lum. topologik fazoning ixtiyoriy nuqtasini va uning ixtiyoriy atrofini qaraylik. baza ekanligidan shunday topilib, bo’ladi. Shartga asosan ekanligidan bo’ladi. Demak, ekan. Teorema 1 isbotlandi.