1. Topologiya kiritishning turli usullari. Akslantirishlar yordamida kiritilgan topologiya

1. Topologiya kiritishning turli usullari. Akslantirishlar yordamida kiritilgan topologiya.
1. To’plamda turli topologiya kiritish usullari
Bu paragrafda to’plamda baza, atroflar oilasi, yopiq to’plamlar yordamida, yopilma operatori, to’plam ichki qismi operatorlari yordamida topologiya kiritish usullarini keltiramiz.
Ta’rif 1. Bo’sh bo’magan to’plam va bu to’plamning qandaydir to’plam ostilaridan tuzilgan to’plamni bilan belgilaymiz. juftlik topologik fazo deyiladi, agar quyidagi shartlar o’rinli bo’sa:
(О1) va ;
(О2) Agar va bo’lsa, u holda bo’lsa;
(О3) Agar bo’lsa, u holda bo’lsa.
U holda to’lamni fazo deb, uning elementlarini esa nuqtalar deb ataymiz. oilaga tegishli ning to’plam ostilarini ochiq to’plamlar deb ataymiz; oilaga ning topologiyasi deyiladi.
Ochiq to’plamlarni aniqlaganimizdan keyin (О1)-(О3) xossalarni quyidagicha yozish mumkin:
(О1 ) Bo’sh to’plam va butun fazo ochiq to’plamdir.
(О2 ) Ixtiyoriy ikki ochiq to’lamlarning kesishmasi yana ochiq to’plam bo’ladi.
(О3 ) Ochiq to’lamlarning ixtiyoriy birlashmasi yana ochiq to’plam bo’ladi.
Matematik induktsiya usulidan foydalanib, (О2 ) xossani ixtiyoriy chekli to’plam uchun yozish mumkin, ya’ni chekli sondagi ochiq to’plamlarning kesishmasi yana ociq to’lam bo’ladi.
Agar nuqta va ochiq to’plam uchun, bo’lsa u holda ochiq to’plamga huqtaning atrofi deyiladi. Bundan ko’rinadiki, nuqtaninig cheksiz ko’p atrofi bo’lishi mumkin.
Misol 1. Bizga и nuqtalardan iborat bo’gan - to’plam berilgan bo’lsin. to’plamda turli topologiya kiritamiz:
а) , б) , в) , г) . Osongina tekshirish mumkinki, topologik fazolar bo’ladi.
Misol 2. Zariskiy topologiyasi. Bizga cheksiz elementlardan iborat bo’lgan to’plam berilgan bo’lsin. bilan bo’sh to’plamni va to’ldirmasi chekli bo’lgan ochiq to’plamlardan iborat bo’lgan oilani belgilaymiz. Osongina tekshirish mumkinki, oila to’plamda topologiya tashkil qiladi. Bu topologiyaga Zariskiy topologiyasi deyiladi. to’plam Zariskiy topologiyasi bilan birgalikda Zariskiy fazosi deyiladi
Endi yopiq to’plam tushunchasini kiritamiz.