1. Topologiya kiritishning turli usullari. Akslantirishlar yordamida kiritilgan topologiya

Natija 1. Har qanday ikkinchi aksiomani qanoatlantiruvchi topologik fazo separabel fazo bo’ladi.
Izoh 1. Teorema 1 shartning teskarisi har doim han o’rinli emas, ya’ni shunday separabel fazo borki, u sanoqli bazaga ega emas.
Misollar.
1) Zorgenfrey to’g’ri chizig’i separabel fazo bo’lib, sanoqli bazaga ega emas.
2) Nemiskiy tekisligi separabel fazo bo’lib, sanoqli bazaga ega emas.
Tasdiq 6. topologik fazolar oilasi va akslantirish topologik fazoni topologik fazoga akslantiruvchi akslantirishlar oilasi berilgan bo’lsin. Agar topologik fazo va barcha funksiyalar uzluksiz bo’lsa u holda beso’naqay (грубейшая) topologiya mavjud bo’ladi. Bu topologiyani bilan belgilasak, bu topologiya bazasi

ko’rinishda bo’ladi, bunda va esa fazodagi ochiq to’plamlar.
Isboti. to’plamlardan iborat oila (В1) - (В2) baza shartlarini qanoatlantirishini tekshiramiz.
1) Ixtiyoriy ikki , ochiq to’plamlarni olaylik va ixtiyoriy nuqta bo’lsin. U holda bo’ladi. to’plam fazoda ochiq to’plam bo’lganligidan shunday atrof mavjud bo’ladi. Bundan esa kelib chiqadi.
2) fazoning ixtiyoriy nuqtasini olaylik. U holda ixtiyoriy akslantirish uchun bo’ladi. U holda shunday ochiq to’plam topilib bo’ladi. Demak baza ekan. Tasdiq 6 isbotlandi.
Tasdiq 7. topologik fazoni topologik fazoga akslantiruvchi akslantirish va akslantirish esa fazoni fazoga akslantirishlar berilgan bo’lsin. Akslantirishlar oilasi yordamida tuzilgan topologiya uzluksiz bo’lishi uchun har bir uchun akslantirishlar kompozisiya uzluksiz bo’lishi zarur va etarlidir.
Isboti. Agar akslantirish uzluksiz bo’lsa, u holda ikkita uzluksiz akslantirishlarning kompozisiyasi ham uzluksiz bo’ladi. Ixtiyoriy uchun bo’lsin. fazodagi to’plamlardan iborat bo’lgan oldbazani olaylik, bunda to’plam fazodagi ochiq to’plam. oldbaza elementining akslantirishdagi proobrazi fazoda ochiq ekanligini ko’rsatamiz. Bu esa quyidagi tenglikdan kelib chiqadi:

Tasdiq 7 isbotlandi.
Tasdiq 7 dan quyidagini tasdiqni olamiz