1 Umumiy tushunchalar

Aim.Uz

Mavzu: Elastik chizigining universal tenglamasi.

REJA:
1. Umumiy tushunchalar

2. Balka egilgan o’qining differenstial tenglamasi va uni integrallash
3. Boshlangich parametrlar usuli, balka elastik chizigining universal tenglamasi.
4. Misollar


1 Umumiy tushunchalar

Balkaga qo’yilgan tashqi kuchlar ta’sirida uning to’gri chiziqli o’qi qiyshayadi. Balkaning qiyshaygan o’qi egilgan o’q yoki elactik chiziq deb ataladi.

Egilish deformastiyasi egilgan balka ko’ndalang kesimining ikki xil ko’chishi: salqilik va ogish burchag Ko’ndalang kesim ogirlik markazining balka o’qiga tik (perpendikulyar) yo’nalishda ko’o’chishi salqilik deb ataladi.
Balka ko’ndalang kesimining deformastiyagacha va deformastiyadan keyingi vaziyatlari orasida hosil bo’lgan burchak mazkur kesimning ogish burchagi deb ataladi.

1- shakl
Ba’zan uni kesim o’qining dastlabki vaziyatiga nisbatan buriladigan burchak _V orqali ham ifodalanadi. (1- shakl)
Balkaning ixtiyoriy kesimlarida salqilik har xil yuz beradi, chunki z funkstiyasi hisoblanadi. Elastik chiziqning umumiy holdagi tenglamasi:

Matematikadan ma’lumki, berilgan nuqtada tekis egri chiziqqa urinmaning qiyalik burchagi tangensi z bo’yicha birinchi hosilaga teng:

Odatda, qurilmalarda  burchak 1 gradusdan oshmaydi, shuning uchun bu holda

(1)

Demak kesimning ogish burchagi shu kesimdagi salqilik hosilasi qiymatiga teng. shakl-1dan ko’rinadiki, balka kesimining ogish burchagi urinmaning qiyalik burchagiga mos keladi.

Balkalar deformastiyasini aniqlashning quyidagi usullari bor: a) analitik usul; b) grafik usul; v) grafoanalitik usul; g) energetik usul.


2. Balka egilgan o’qining differenstial tenglamasi va uni integrallash

Egilishdagi ko’chishlarni aniqlash uchun balka elastik chizigining tenglamasi ma’lum bo’lishi kerak. Balka o’qining egriligini eguvchi moment bilan boglovchi formuladan foydalanamiz:

bunda: - egrilik radiusi; _­ – eguvchi moment; – balkaning bikrligi.

Matematik analizdan chiziqning egrilik formulasi ma’lum:

Ifodalarning o’ngdagi qismlarini tenglashtirib, balka elastik chizigining aniq differenstial tenglamasini olamiz:

(2)

Uzluksiz kichik qiymat ni hisobga olmay balka elastik chizigining taqribiy differenstial tenglamasini olamiz: .

Ishora qabul qilingan koordinatalar tizimiga qarab tanlanadi. O’q u yuqoriga yo’nalganda tenglama quyidagi ko’rinishda ishlatiladi:


(3)
chunki eguvchi moment va egrilik bir xil ishoralarga ega (19.2- shakl)

2- shakl

(3) tenglamani bir marta integrallab, ogish burchaklari tenglamasini olamiz:

(4)

Uni ikkinchi marta integrallab, salqiliklar tenglamasini olamiz:

(5)

bunda: S va D – integrallash doimiylari.

Integrallash doimiylari chegaraviy shartlardan, ya’ni balkaning mahkamlanish shartlaridan aniqlanadi (3 - shakl).

3 -shakl

Balkalar deformastiyasini aniqlashga oid misollarni ko’rib chiqamiz.
1 – misol. Bir uchi qistirilgan va erkin uchiga to’plangan R kuch qo’yilgan balkaning eng ko’p salqiligini va kesimining ogish burchagini aniqlang (4 - shakl).


4- shakl
Koordinatalar boshi (0 nuqta) dan
z masofadagi kesimdagi eguvchi
moment, .Balka elastik
chizigining differenstial
tenglamasi: .
Birinchi marta integrallasak .
Ikkinchi marta integrallasak
Integrallash doimiylari S va D ni chegaraviy
shartlardan aniqlaymiz:
1) = da ;
2) = da
Birinchi shartdan
Ikkinchi shartdan ,
bundan
Kesimlarning ogish burchaklari va salqilik tenglamalari

Tenglamalardan ko’rinadiki, _max va u_max balkaning erkin uchida ( =0 bo’lganda) yuz beradi

va

Ogish burchagining musbat qiymati kesim soat miliga teskari, manfiy qiymati esa – soat mili yo’nalishida ogishini ko’rsatadi.

Salqilikning manfiy qiymati esa, balka ko’ndalang kesimining ogirlik markazi u o’qqa teskari yo’nalishda, musbat qiymati – u o’q yo’nalishida siljishini ko’rsatadi, z=0 da quyidagicha bo’lishini ta’kidlaymiz:
va
Bunda: va – koordinatalar boshida kesimning ogish burchagi va salqilik.
Integrallash doimiylarining o’lchamliligi:
S - KNm² va D - KNm³.
2 – misol. q jadallikdagi ogirlik bilan yuklangan bir qulochli balka
(5 - shakl) qulochining o’rtasidagi salqilikni va tayanchlardagi kesimlarning ogish burchaklarini aniqlang.
Balkaning tayanch reakstiyalari Koordinatalar boshi (V nuqta) dan masofada yotgan kesimdagi eguvchi moment

Balka elastik chizigining differenstial tenglamasi:





19.5- shakl.
Integrallab ushbuni olamiz:




Integrallash doimiylari S va D ni
5- shakl
chegaraviy shartlardan aniqlaymiz:

1) =0 da =0;

2) = da =0.
Birinchi shartdan =0.
Ikkinchi shartdan
bundan:

Balka kesimining ogish burchaklari va salqiliklar tenglamalari:

Eng katta salqilik z=/2 da balka qulochining o’rtasiyada paydo bo’ladi:

z=0 da V tayanchdagi kesimning ogish burchagi:

soat mili yurishi yo’nalishida

z= da tayanch S dagi kesimning ogish burchagi

soat mili yurishi yo’nalishiga teskari.