1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi

1.Yuqori tartibli hosila tushunchasi.Faraz qilaylik, biror  da hosilaga ega   funksiya aniqlangan bo‘lsin. Ravshanki,  hosila  da aniqlangan funksiya bo‘ladi. Demak, hosil bo‘lgan funksiyaning hosilasi, ya’ni hosilaning hosilasi haqida gapirish mumkin. Agar  funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lsa, uni  funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi deyiladi va  ,   simvollarning biri bilan belgilanadi. Shunday qilib, ta’rif bo‘yicha  ekan. Shunga o‘xshash, agar ikkinchi tartibli hosilaning hosilasi mavjud bo‘lsa, u uchinchi tartibli hosila deyiladi     kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha  .Berilgan funksiyaning to‘rtinchi va h.k. tartibdagi hosilalari xuddi shunga o‘xshash aniqlanadi. Umuman  funksiyaning  -tartibli  hosilasining hosilasiga uning n-tartibli hosilasi deyiladi va  ,  ,  simvollarning biri bilan belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha n-tartibli hosila  rekkurent (qaytma) formula bilan hisoblanar ekan.Leybnits formulasi.1-xossa. Agar  va  funksiyalar n-tartibli hosilalarga ega bo‘lsa, u holda bu ikki funksiya yig‘indisining n -tartibli hosilasi uchun formula o‘rinli bo‘ladi. 2-xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini n-tartibli hosila belgisi oldiga chiqarish mumkin: 
2. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi. Ikki o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari
. Agar nuqtaning shundav atrofi topilsaki, bu atrofning barcha nuqtadan farqli nuqtalarida tengsizlik bajarilsa, nuqtaga funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi deb ataladiEkstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bog‘liq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida erishadi va shu bilan birga funksiyaning ekstremumi lokal xarakterga ega bo‘ladi, ya’ni funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta ekstremumga erishishi mumkin yoki umuman ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. fazoda va to‘plamlar berilgan bo‘lsin.1-ta’rif. Agar to‘plamning har bir haqiqiy sonlar juftiga biror qonun yoki qoida bilan to‘plamdagi yagona haqiqiy soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, to‘plamda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi ,… kabi belgilanadi. Bu yerda va argumentlar (yoki erkli o‘zgaruvchilar), ikki va o‘zgaruvchining funksiyasi (yoki bog‘liq o‘zgaruvchi) deb ataladi. to‘plamga funksiyaning aniqlanish sohasi, to‘plamga uning qiymatlar sohasi (yoki o‘zgarish sohasi) deyiladi.
3. Ko’p o’zgaruvchili funktsiyaning xususiy xosilalari. R² fazоda birоr D tuplamning birbiriga bоg’liq bo’lmagan X va y o’zgaruvchilari har bir x,y haqiqiy sоnlari juftligiga birоr qоidaga ko’ra E to’plamdagi bitta Z haqiqiy sоn mоs quyilgan bo’lsa, to’plamda ikki o’zgaruvchiling funksiyasi aniqlangan dеyiladi. Lim delx^z/delx chеkli limit mavjud bo’lsa, unga funksiyaning x o’zgaruvchi bo’yicha хususiy hоsilasi dеyiladi z/y va yoki z’_x= f’_x (x, y) bilan bеlgilanadi. Lim_y->0 dely^z/dely chеkli limit mavjud bo’lsa, unga z  f (x, y) funksiyaning y o’zgaruvchi bo’yicha хususiy hоsilasi dеyiladi z/ y yoki z’_y= f’_y (x, y) bilan bеlgilanadi.
4. Differensial tenglamaga olib keluvchi masalalar. Differentsial tenglama, F(у',y'',...,y⁽ⁿ⁾)=0, birinchi tartibli differentsial tenglama, xususiy vа umumiy yechim tushunchalari, у=(х,С) umumiy yechim; Tayanch iboralar: y'= (x,y), birinchi tartibli differentsial tenglama, radiyning yemirilishi haqidagi masala.1‑ta’rif. Differentsial tenglama deb erkli o’zgaruvchi х, noma’lum у= (х) funktsiya vа uning у',y'',...,y⁽ⁿ⁾ hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi.2‑ta’rif. Differentsial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi.Маsalan.1) y'+2x²+y³+12=0 birinchi tartibli differentsial tenglamadir. 2)y''+5y'=4x⁵ –ikkinchi tartibli differentsial tenglamadir. 3‑ta’rif. Differentsial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differentsial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funktsiyaga aytiladi.