1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi

11. Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral. Biror chekli yoki cheksiz (a,b) oraliqdagi har bir x nuqtada differensiallanuvchi va hosilasi F′(х)=f(х) shartni qanoatlantiruvchi F(x) berilgan f(x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya deyiladi. Masalan, f(x)=a x (a>0, a≠1), x(–∞, ∞), funksiya uchun F(x)= a x /lna boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki ixtiyoriy x uchun F′(x)= (a x /lna)′= a x lna /lna=a x =f(х) tеnglik o‘rinlidir. Xuddi shunday F(x)=x 5 /5 funksiya barcha x nuqtalarda f(x)=x 4 uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Berilgan y=F(x) funksiyaning y′=F′(x)=f(x) hosilasi bir qiymatli aniqlanadi. Masalan, y=x 2 funksiya yagona y′=2x hosilaga ega. Agar F(x) biror (a,b) oraliqda f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, unda F(x)+С (С – ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar to‘plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi . Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integrali  f (x)dx kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, birorta F(x) boshlang‘ich funksiya bo‘yicha  f (x)dx  F(x)  C (2) tenglik bilan aniqlanadi. Bunda C ixtiyoriy o‘zgarmas son ekanligini yana bir marta eslatib o‘tamiz. (2) tenglikda  - integral belgisi, f(x) integral ostidagi funksiya , f(x)dx integral ostidagi ifoda, x esa integrallash o‘zgaruvchisi deyiladi. Berilgan f(x) funksiyaning.
12. Inttegrallash usullari: o’zgartiruvchi kiritish, bo’laklab integrallash. 1.Bevosita integrallash usuli.
Bevosita integrallash usuli xossalar va asosiy integrallar jadvalidan foydalanishdan iborat. 2.Differensialbelgisi ostiga kiritish usuli.Differensial belgisi ostiga kiritish usuli, integral ostidagi ifodani almashtirish-dan iboratdir. Bunda


va hakazo, almashtirishlarni bajarish mumkin. 3.O‘rniga qo‘yish usuli.Jadvalga kirmagan integralni hisoblash kerak bo‘lsin. ni erkli o‘zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalab, integrallashning yangi o‘zgaruvchisini kiritamiz. Bu funksiyaga teskari funktsiya mavjud bo’lsin. U holda bo’lib,

formula hosil bo^’ladi.Bu o’rniga qo’yish usuli deyiladi.4.Bo‘laklab integrallash.Bo‘laklab integrallash formulasi ikki funksiya ko‘paytmasini differensiallash formulasidan kelib chiqadi. differentsiallanuvchi funktsiyalar.Ikki funktsiya ko’paytmasining differentsiali:

ga teng.Bundan
ni hisil qilamiz.(1) formula bo’laklab intgrallash formulasi deyiladi.