1. Yuqori tartibli hosila tushunchasi

5. Birinchi tartibli bir jinsli differentsial tenglama. : f(x,y) funktsiya х vау o’zgaruvchilarga nisbatan n-o’lchovli bir jinsli funktsiya deyiladi, аgar ixtiyoriy tenglik o’rinli bo’lsa.
Misol:
1. funktsiya bir o’lchovli, bir jinsli funktsiyadir, chunki
2. (x,y)=ху-у² , ikki o’lchovli, bir jinsli funktsiya xisoblanadi, chunki
3. (x,y)= 0-o’lchvli bir jinsli funktsiyadir, chunki
(x,y)=
Savol: Bir jinsli funktsiyalarga misollar keltiring
Та’rif: Birinchi tartibli (1) tenglama х vау gа nisbatan bir jinsli deyiladi, аgar (x,y) funktsiya nol o’lchovli bir jinsli funktsiya bo’lsa.
6. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamamalar. Ixtiyoriy birinchi tartibli differensial tenglamani yechish talab qilingan boʻlsa, birinchi navbatda ushbu differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratish mumkinmi-yoʻqligini tekshirish lozim. Agar differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa, u holda differensial tenglamani bir jinslilikka tekshirish lozim. Har ikkala holda ham differensial tenglamani yechish algoritmini bilamiz. Agar birinchi tartibli differensial tenglamada oʻzgaruvchilarni ajratishni iloji boʻlmasa va tenglama bir jinsli ham boʻlmasa, u holda 90% holatlarda chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga duch kelamiz. Chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy koʻrinishi a(x)*y’(x)+b(x)*y(x)=c(x). Standart koʻrinishda berilgan chiziqli birjinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamani ikki xil usulda yechishni koʻrib chiqamiz:1)Oʻzgarmasni variatsiyalash usuli.2)Bernulli usuli.
7. Yuqori tartibli tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan differensial tenglamalar. Yuqori tartibli tenglamalarni ba’zi hollarda tartibini pasaytirish mumkin. Hozir shunday tenglamalarning bir necha tiplarini ko’rib o’tamiz.

1. 
   Ushbu (1kn) (1)
   

(1) tenglamada y, ,…,y^(k-1) tartibli Hosila lar qatnashmaydi. Bu holda y^(k)=z ko’rinishda yangi z funksiya kiritamiz, unda (1) tenglama
(2)
ko’rinishga kelib, tartibi (n-k) ga teng. Biror usul bilan (2) tenglamani yechib, umumiy yechimini topamiz.

almashtirishga ko’ra

ko’rinishiga keladi. So’ngi tenglamani integrallab,

ko’rinishdagi umumiy yechimini olamiz.
MISOL:
Unda =z deb olsak, yoki Klero tenglamasiga keladi.
Klero tenglamasining yechimi bo’lib, undan tenglamaga kelamiz.
Integrallab, quyidagi
y=c₁x(x-c₁)+c₂ ( )
ko’rinishdagi umumiy yechimni topamiz.
Agar (1) tenglama

ko’rinishida bo’lsa almashtirish qilamiz. Agar

ko’rinishda bo’lsa almashtirish kiritib

ko’rinishdagi tenglamaga keltiriladi.
Agar n-tartibli tenglamani ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, uni integrallash oson amalga oshiriladi. Bunda f(x) (a,b) intervalda uzluksiz funksiya. Bu tenglamani integrallashda tenglikdan ketma-ket foydalanib, integrallaymiz, ya’ni

shu jarayonni n-marta takrorlab umumiy yechimni hosil qilamiz.