10-amaliy mashg‘ulot

2-teorema (Chebishevning teoremasi). har ikkitasi bog‘liqmas bo‘lgan tasodifiy miqdorlar ketma – ketligi bo‘lib, birgalikda chegaralangan dispersiyalarga (istagan uchun va bir xil matematik kutilishlarga ega bo‘lsin. U holda qanday bo‘lmasin

tenglik o‘rinli.
10.3. Ya. Bernulli teoremasi
Ya. Bernulli teoremasi katta sonlar qonunining juda muhim va tarixan birinchi shaklidir. U hodisaning nisbiy chastotasi bilan uning ehtimolligi orasidagi bog‘lanishni aniqlaydi.
3-teorema (Bernulli teoremasi). Bir xil sharoitlardagi bog‘liqmas sinovlar soni cheksiz ortganda qaralayotgan hodisaning nisbiy chastotasi uning har bir ayrim sinovdagi ehtimolligi ga ehtimolligi bo‘yicha yaqinlashadi, ya’ni
,
bu yerda shu hodisaning birinchi sinovdagi nisbiy chastotasi.
Boshqacha aytganda, yetarlicha katta kuzatilgan qiymat ehtimolligining taqribiy qiymatini yuqori darajada aniqliq bilan beradi, deb amalda ishonish mumkin.
4-teorema (Puasson teoremasi). Bog‘liqmas sinovlar o‘tkazilayotgan bo‘lsin va hodisaning -sinovda ehtimolligi ga teng bo‘lsin. U holda sinovlar soni cheksiz ortganida hodisaning nisbiy chastotasi ehtimolliklarning o‘rta arifmetigiga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashadi, ya’ni ushbu tenglik o‘rinli:
.
1-misol. Qurilma o‘zaro erkli ishlaydigan 10 ta elementdan iborat. Har bir elementning vaqt ichida ishdan chiqish ehtimoli 0,05 ga teng. Chebishev tengsizligidan foydalanib, vaqt ichida ishdan chiqqan elementlar soni bilan shu vaqt ichida ishdan chiqqan elementlarning o‘rtacha soni (matematik kutilishi) orasidagi ayirmaning absalyut qiymat bo‘yicha: a) ikkidan kichik bo‘lishi; b) ikkidan kichik bo‘lmaslik ehtimolini baholang.
Yechilishi. a) orqali diskret tasodifiy miqdorni – qaralayotgan vaqt ichida ishdan chiqqan elementlar sonini belgilaymiz. U holda
.
Chebishev tengsizligidan foydalanamiz:
.
Bunga larni qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz: .
b) va hodisalar qarama – qarshi hodisalardir, shuning uchun ularning ehtimollari yig‘indisi birga teng. Demak,
.
2-misol. Tanga 1000 marta tashlanayapti. «Gerb» tushtishining chetlanish chastotasining ehtimoli uning kelishini ehtimolidan 0,1 oz bo‘lganini quyidan baholang.
Yechilishi. Bunda quyidagi tengsizlikdan
.
foydalanib, quyidagini hosil qilamiz

tengsizlik, quyidagi qo‘ish tengsizlikka teng kuchlidir, ya’ni (400, 600) oraliqda gerbning tushish ehtimoli kattadir.
3-misol. diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan:

Chebishev tengsizligidan foydalanib, ni baholang.