10. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart

3⁰. Xususiy hollar. bo‘lsin. bu holda funksiyaning lokal ekstremumlari, ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari kabi tushuncha va tasdiqlarga kelamiz. Ular 25-maʼruzada bayon etilgan.
bo‘lsin. Bu holda ikki o‘zgaruv-chili funksiyaning lokal ekstremum tushunchalari yuzaga kelib, bu hol uchun ularning taʼriflari quyidagicha bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bo‘lsin.
Agar shunday son topilsaki, bo‘lib, uchun

bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga (lokal maksimumga) erishadi deyiladi. nuqta funksiyaning lokal minimum (maksimum) nuqtasi, miqdor esa funksiyaning minimum (maksimum) qiymati deyiladi.
Agar shunday son topilsaki, bo‘lib, uchun

bo‘lsa, funksiya nuqtada qatʼiy lokal minimumga (qatʼiy lokal maksimumga) erishadi deyiladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtada qatʼiy maksimumga erishishi ko‘rsatilsin.
◄ sonni olib, nuqtaning atrofini hosil qilamiz. Unda uchun

bo‘ladi. Demak, berilgan funksiya nuqtada maksimumga erishadi.►
Agar funksiya nuqtada lokal ekstremumga erishsa va shu nuqtada

xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Biroq, funksiyaning biror nuqtada xususiy hosilalari mavjud bo‘lib, ular shu nuqtada nolga teng bo‘lsa, qaralayotgan funksiya nuqtada ekstremumga erishmasdan qolishi mumkin. Masalan,

funksiya

xususiy hosilalarga ega bo‘lib, ular nuqtada nolga teng:

bo‘lsa ham, bu funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi (funksiya grafigi-giperbolik paraboloidni tasavvur qiling).
Aytaylik, funksiya nuqtaning biror atrofida berilgan bo‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin:

1. 
   funksiya da uzulksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega,
   
2. 
   statsionar nuqta:
   

.
Bu funksiya uchun da yuritilgan mulohazalarni qo‘llab
(*)
bo‘lishini topamiz, bunda

bo‘lib,

bo‘ladi.