10. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart

3-teorema. Agar
(4)
kvadratik forma musbat aniqlangan, yaʼni

bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi, agar (4) kvadratik forma manfiy aniqlangan, yaʼni

bo‘lsa, funkuiya nuqtada lokal maksimumga erishadi.
◄ Maʼlumki, funksiyaning nuqtada ekstremumga erishishi da ushbu

ayirmaning ishora saqlashi bilan bog‘liq:
da bo‘lsa,
nuqtada lokal minimum, bo‘lsa. nuqtada lokal maksimum sodir bo‘ladi.
ayirmaning ishorasini aniqlash qulay bo‘lishi maqsadida (4) da

almashtirishni bajaramiz, bunda
.
Natijada (*) munosabat ushbu
(5)
ko‘rinishga keladi.
Aytaylik,

bo‘lsin.
Ravshanki,

Ayni paytda, bu funksiya, ning funksiyasi sifatida da uzluksiz bo‘lib, o‘zining eng kichik qiymati (uni bilan belgilaylik) ga ega bo‘ladi:
.
Ikkinchi tomondan, yaʼni da bo‘lganligi sababli, ning yetardli kichik qiymatlarida

bo‘laoladi.
Demak, bo‘lganda (5) tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda musbat bo‘ladi. Binobarin,

bo‘lib, funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi.
Aytaylik,

bo‘lsin. Bu holda (5) tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda manfiy bo‘ladi. Binobarin,

bo‘lib, funksiya nuqtada lokal maksimumga erishadi.►
3-eslatma. Agar

bo‘lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
4-eslatma. Agar

bo‘lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishishi ham mumkin, erishmasligi ham mumkin (qaralsin, , 13-bob).
2-misol. Ushbu

funksiya ekstremumga tekshirilsin.
◄Аввало berilgan funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz:

.
Demak, statsionar nuqta.
Ravshanki,
.
Demak,

va bo‘lganligi uchun berilgan funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi va

bo‘ladi.►
3-misol. Ushbu



funksiyalar ekstremumga tekshirilsin.
◄Берилган funksiyalar uchun statsionar nuqta bo‘ladi. Bu funksiyalar uchun

bo‘ladi. Ravshanki, nuqtada funksiya minimumga, funksiya esa maksimumga erishadi. funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lmaydi.►


Mashqlar

1. 
   3-teoremada keltirilgan funksiya uchun statsionar nuqtada
   

bo‘lsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishmasligi isbotlansin.
2. Ushbu

funksiya ekstremumga tekshirilsin.
ADABIYOTLAR RUYXATI.

1. 
   Piskunov N.S. “Differensial va integral xisob”, 2- tom, T.. “Ukituvchi”, 1974.
   
2. 
   Soatov Yo. U. “Oliy matematika”, 1-jild, T. “Ukituvchi”, 1994
   
3. 
   Smirnov V.I. “Kurs vыsshey matematiki”. M. “Nauka”, 1974, T.2.
   
4. 
   Yefimov A.V. . Zolotarev YU.G. , Terpigoreva V.M. “Matematicheskiy analiz” (spetsialnыe razdelы) M. “Vыsshaya shkola”, 1980, ch.2
   
5. 
   Maydon nazariyasi elementlari Teshayev m.x Maʼruzal matni
   
6. 
   www.ziyonet.uz
   
7. 
   www.pedagog.uz