10. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart

2⁰. Funksiya ekstremumga erishishining yetarli sharti. Aytaylik, funksiya nuqtaning biror atrofida berilgan, shu atrofda barcha ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega va

bo‘lsin. Bu funksiyaning Teylor formulasi (62-maʼruzada keltirilgan Teylor formulasida bo‘lgan hol),

shartni hisobga olgan holda, quyidagicha
(1)
bo‘ladi, bunda ikkinchi tartibli xususiy hosilalar

nuqtada hisoblangan va
.
Berilgan funksiya ikkinchi tartibli xususiy hosila-larning statsionar nuqta dagi qiymatlarini

bilan belgilaymiz. Barcha ikkinchi tartibli xususiy hosilalar

larning nuqtada uzluksizligidan

hamda

bo‘lishi kelib chiqadi, bunda
.
Natijada (1) tenglik ushbu

ko‘rinishga keladi.
Agar


deyilsa, so‘ng da, yaʼni da

(bunda, da ) bo‘lishini eʼtiborga olsak, u holda
(2)
bo‘lishini topamiz.
Maʼlumki, ayirma da ishora saqlasa, yaʼni da

bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga,

bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal maksimumga erishadi.
Yuqoridagi (2) tenglikdan ko‘rinadiki, ning ishorasi koeffitsiyentlari

bo‘lgan
(3)
kvadratik formaga bog‘liq bo‘ladi.
2-teorema. Agar (3) kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga, manfiy aniqlangan bo‘lsa, lokal maksimumga erishadi.
Agar (3) kvadratik forma noaniq bo‘lsa, funksiya nuqtada lokal estremumga erishmaydi.
◄ Bu teorema, keyingi punktda, xususiy holda yaʼni ikki o‘zgaruvchili funksiyalar uchun isbotlanadi.►(qaralsin, , 13-bob)