10-ma’ruza. Chiziqli uzluksiz operatorlar

Chiziqli uzluksiz operatorlar
Biz asosan chiziqli operatorlarni qaraymiz. Chiziqli operatorlarning aniqlanish sohasi va qiymatlar to‘plami chiziqli normalangan fazolarning qism fazolari bo‘ladi. Shunday qilib, bizga va chiziqli normalangan fazolar berilgan bo‘lsin.
30.1-ta’rif. fazodan olingan har bir elementga fazoning yagona elementini mos qo‘yuvchi

akslantirish operator deyiladi.
Umuman operator ning hamma yerida aniqlangan bo‘lishi shart emas. Bu holda mavjud va bo‘lgan barcha lar to‘plami operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va bilan belgilanadi, ya’ni:

Agar chiziqli operator qaralayotgan bo‘lsa, ning chiziqli ko‘pxillilik bo‘lishi talab qilinadi, ya’ni agar bo‘lsa, u holda ixtiyoriy lar uchun .
30.2-ta’rif. Agar ixtiyoriy elementlar va ixtiyoriy sonlar uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, ga chiziqli operator deyiladi.
30.3-ta’rif. Bizga operator va nuqta berilgan bo‘lsin. Agar ning ixtiyoriy atrofi uchun, nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy lar uchun bo‘lsa, operator nuqtada uzluksiz deyiladi.
30.3-ta’rifga teng kuchli quyidagi ta’riflarni keltiramiz.
30.4-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, operator nuqtada uzluksiz deyiladi.
30.5-ta’rif. Agar nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo‘lsa, u holda operator nuqtada uzluksiz deyiladi.
Agar operator ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‘lsa, uzluksiz operator deyiladi.
30.6-ta’rif. tenglikni qanoatlantiruvchi barcha lar to‘plami operatorning yadrosi deb ataladi va u bilan belgilanadi.
30.7-ta’rif. Biror uchun bajariladigan lar to‘plami operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deb ataladi va u yoki bilan belgilanadi.
Matematik simvollar yordamida operator yadrosi va qiymatlar sohasini quyidagicha yozish mumkin:


Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi chiziqli ko‘pxillilik bo‘ladi. Agar bo‘lib, uzluksiz operator bo‘lsa, u holda yopiq qism fazo bo‘ladi, ya’ni . operator uzluksiz bo‘lgan holda ham yopiq qism fazo bo‘lmasligi mumkin.