10-ma’ruza. Chiziqli uzluksiz operatorlar

30.10-ta’rif. chiziqli operator bo‘lsin. Agar shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun
(30.3)
tengsizlik bajarilsa, chegaralangan operator deyiladi.
30.11-ta’rif. (30.3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamining aniq quyi chegarasi operatorning normasi deyiladi, va u bilan belgilanadi, ya’ni

Bu ta’rifdan ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
30.1-teorema. normalangan fazoni normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorning normasi uchun
(30.4)
tenglik o‘rinli.
Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz
.
chiziqli operator bo‘lgani uchun

Ixtiyoriy uchun

Demak, ixtiyoriy uchun Bundan esa
. (30.5)
Aniq yuqori chegara ta’rifiga ko‘ra, ixtiyoriy son uchun, shunday element mavjudki,

tengsizlik bajariladi. Bu yerdan ixtiyoriy bo‘lgani uchun,
. (30.6)
(30.5) va (30.6) lardan tenglik kelib chiqadi. ∆
30.1-tasdiq. Chiziqli chegaralangan operator uchun

tenglik o‘rinli.
30.1-tasdiqni mustaqil isbotlang.
chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operatorlar to‘plamini bilan belgilaymiz. Xususan, bo‘lsa .
30.1-natija. Ixtiyoriy va , uchun
(30.7)
tengsizlik o‘rinli.
(30.7) tengsizlikning isboti (30.4) tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi.
30.12-ta’rif. va chiziqli operatorlarning yig‘indisi deb, elementga elementni mos qo‘yuvchi operatorga aytiladi.
Ravshanki, chiziqli operator bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda ham chegaralangan operator bo‘ladi va
(30.8)
tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham,
.
Bu yerdan (30.8) tengsizlik kelib chiqadi.