10-ma’ruza Shartli

Beyes formulasi.

Faraz qilaylik, A hodisa hodisalarning to’liq gruppasini tashkil etuvchi

B₁, B₂ ,, B_n
hodisalarning birortasi bilan birgalikda ro’y bersin. Tajriba o’tkazish

natijasida
B₁, B₂ ,, B_n
hodisalarning qaysi biri ro’y berishi avvaldan ma’lum

emas, shuning uchun biz ularni gipotezalar deb ataymiz.
Tajriba o’tkazish natijasida A hodisa ro’y berdi, u holda to’la ehtimol formulasiga asosan A hodisaning ehtimoli
PА  PB P А  PB P А  PB P А

ga teng. Bu yerda
1 B₁ 2 B ₂
n B_n

U  B₁  B₂  B_n ,
B_i B _j
 V ,


i, j  1, n
i  j .

A hodisa ro’y berdi, endi
B₁, B₂ ,, B_n
gipotezalarning ehtimollari, ya’ni quyidagi

^{shartli ehtimollar P B ,} P ^B ^,, P B
 ^{qanday bo’ladi?}

А 1 А 2 А n

P
Avval quyidagi ehtimolni hisoblaymiz:

1

1

А

1

1
PАB  PАP B
 PB
_B А

P
tenglik o’rinli ekanligi ravshandir. Bu yerdan

P B
_{ } PB_1
B А

1
^{А 1} PА

P
yoki to’la ehtimol formulasiga asosan

1
P B  _{ }

1

PB


_B А

n
^

А 1 _{P B}
P А  PB
А  PB
_B А

P

P

B ₂
Xuddi shunday usul bilan

1
P B  _{ }

2

PB


_B А

n
^

А 2 _{P B}
P А  PB
А  PB
_B А

P
  

P B  _{ }


B ₂
PB

  

P

n
_B А

А n _{P B}
P А  PB P А  PB P А

1 B₁ 2 B ₂ n B_n
formulalarni yozish qiyin emas.
Yuqoridagi formulalarni quyidagicha yozish mumkin.

P

i

i
P B 
PB



_B А




i  1, n

(66.11)

^{А i} _    

j


B

j1
P B P А
j

Bu formula Beyes formulasi deyiladi.

9. 
   Misol. Birinchi idishda 8 ta oq va 7 ta qora shar, ikkinchi idishda esa 10 ta oq va 5 ta qora shar bor. Ikkinchi idishdan birinchi idishga bitta shar olib solinadi va agar birinchi idishdan oq shar chiqqan bo’lsa, ikkinchi idishdan birinchi idishga solingan sharning oq yoki qora bo’lish ehtimoli nimaga teng?
   

Yechish.

B₁ – 2-idishdan 1-idishga oq shar solish,
B₂ – 2-idishdan 1-idishga qora shar solish hodisalari bo’lsin
A – 1-idishdan oq shar chiqish hodisasi bo’lsin.
U holda yuqorida keltirilgan misolga asosan, ularning ehtimollari

1
PB
^{ 2} ,
3
PB
 ¹ _,
3
PA  ¹³
24

2
ga teng. Endi yuqorida keltirilgan (14) formulaga asosan yozamiz:

PB P
А
2 _ 9

P B
_ ^{1 B1} _ 3 16 _ ⁹

^{А 1} PА
13 ₁₃
24

PB P
А
1 _ 8

P B
_ ^{2 B 2} _ 3 16 _ ⁴

^{А 2} PА
13 ₁₃
24

Demak, ehtimollar yig’indisi birga teng.
^{P B   9} ,

А

1
13
P B  ⁴

А

2
13
ga teng bo’lib, ularning