10. Oshkormas funksiya tushunchasi

2⁰. Oshkormas funksiyaning mavjudligi.
1-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtaning biror atrofi

da berilgan bo‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin:

1. 
   funksiya da uzluksiz;
   
2. 
   Har bir tayin da o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida o‘suvchi;
   
3. 
   .
   

U holda nuqtaning shunday atrofi

topiladiki,
a) da

tenglama yagona yechimga ega, ya’ni tenglama yordamida oshkormas funksiya aniqlanadi,
b) bo‘ladi
v) funksiya da uzluksiz bo‘ladi.

◄ atrofga tegishli bo‘lgan

nuqtalarni olib, segmentda

funksiyani qaraymiz. Teoremaning 2)-shartiga ko‘ra o‘suvchi, 3)-shartiga ko‘ra bo‘ladi. Bunda esa
,

bo‘lishi kelib chiqadi.
Teoremaning 1)-shartiga ko‘ra funksiya da uzluksiz. Unda uzluksiz funksiyaning xossasiga ko‘ra, nuqtaning shunday atrofi topiladiki, da
(3)
bo‘ladi.
Endi nuqtaning

atrofida

tenglama ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlashini ko‘rsatamiz.
Ixtiyoriy nuqtani olib, da ushbu

funksiyani qaraymiz. Ravshanki, bu funksiya segmentda uzluksiz va ayni paytda (3) munosabatga binoan


bo‘ladi. Unda Bolsano-Koshining teoremasiga ko‘ra shunday nuqta topiladiki,

bo‘ladi.
Ayni paytda, funksiya da o‘suvchi (qat’iy o‘suvchi) bo‘lganligi sababli shu oraliqqa bittadan ortiq nuqtada nolga aylanmaydi.
Shunday qilib, ixtiyoriy uchun yagona topiladiki,

bo‘ladi. Bu esa da tenglama ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlashni bildiradi:

Aytaylik, bo‘lsin. Unda teoremaning 3) shartiga ko‘ra

bo‘ladi. Binobarin, aniqlangan oshkormas funksiyaning nuqtadagi qiymati bo‘ladi.
Modomiki, uchun ga ko‘ra unga mos keladigan bo‘lar ekan, unda

bo‘ladi. Demak, oshkormas funksiya nuqtada uzluksiz.
Oshkormas funksiyaning nuqtada uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatish bu funksiyaning nuqtada uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatish kabidir. Demak, mavjudligi ko‘rsatilgan oshkormas funksiya da uzluksiz bo‘ladi.►