11-Ma’ruza: Interpolyatsion kvadratur formulalar

_{11-Ma’ruza:} Interpolyatsion kvadratur formulalar
Reja:

1. 
   Aniq integralni Monte-Karlo usulida hisoblash.
   
2. 
   Karrali integrallarni Monte-Karlo usulida hisoblash.
   

ANIQ INTEGRALNI MONTE-KARLO USULIDA HISOBLASH
1. integralni hisoblash talab etilsin. Bunda t – tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor bo‘lib, uning zichligi funktsiyasi R(t):

bo‘lsin. Bu holda tasodifiy (t) funktsiyaning matematik kutilmasi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:

R(t) ning 0t1 dagi qiymatiga asosan:
(1.1)
Matematik kutilmani taqribiy qiymatini hisoblaymiz. N ta tajribaga t tasodifiy miqdorni N ta t₁, t₂,…, t_N qiymatlarga ega bo‘lsin. Bu qiymatlarni tasodifiy sonlar jadvali [10] dan olish mumkin. Bu holda M((t)) matematik kutilma qiymati CHebishev teoremasiga asosan quyidagi tenglikdan topiladi.
(1.2)
(1.2) va (1.2) tengliklar asosida
(1.3)
2. Umumiy holni ko‘ramiz. integeralni hisoblash talab qilinsin.
x = a + (b – a) t
tenglik bilan t o‘zgaruvchiga o‘tamiz. Bu holda
(1.4)
bu yerda (t) = f(a+(b–a)t). (1.3) formula asosida (1.4) formula o‘ng tomonini hisoblaymiz.
yoki (1.5)
bu yerda
x_i = a + (b – a)t_i , (i = 1, 2, …, n).
Intergalni xisoblash jadvalini tuzamiz.
1-jadval

i	ti	xi = a + (b – a)ti	f(xi­)
1 2 … N	T1 t2 … tN	x1 x2 … xN	f(x1) f(x2) … f(xN)

Bu usulda (1.5) formula asosida aniq integralni Monte-Karlo usuli bilan hisoblash tajribalar statistikasining sodda usullarida xisoblanadi.
Monte-Karlo usuliga asosida aniq integralni hisoblashni ko‘ramiz:

aniq integralning geometrik ma’nosi: x=a, x=b, y=0, y=f(x) chiziqlar bilan chegaralangan yuzaga teng, agar f(x) funktsiya [a, b] da uzluksiz va musbat bo‘lsa.
Endi x=a, x=b, y=0, y=M (Mmax f(x), [a, b]) to‘rtbarchakni ko‘ramiz, (7.5-rasm). Agar f(x)0 tengsizlik [a, b] ning barcha nuqtalarida o‘rinli bo‘lmasa, quyidagi ayniyatdan foydalanamiz:

bunda x[a, b] uchun h>0 shunday tanlaymizki f(x)+h0 bo‘lsin.

Bu usul ham [0,1] kesmaga tegishli bo‘lgan, tasodifiy sonlar jadvaliga asoslangan. Shuning uchun x, y o‘zgaruvchilardan shunday ,  o‘zgaruvchilarga o‘tish kerakki D₁ soha 01, 01 bo‘lgan birlik kvadrat bo‘lgan D sohaga almashsin (7.6-rasm). Buning uchun
x = a + (b – a) , y = M
almashtirish qilamiz. Bunda dx = (b – a)d va x(a, b) da (0, 1). Berilgan integral quyidagicha bo‘ladi:
(1.6)
bunda (1.7)
(1.7) tenglamadan f(x)=M().
Birlik kvadrat tekis taqsimlangan tasodifiy nuqtalar (₁, ₂), (₂, ₂), …, (_N, _N) to‘plamini ko‘ramiz. Aytaylik D sohaga n ta nuqta tushsin. Tasodifiy nuqtalar tekis taqsimlanganligi uchun

bunda 1 birlik kvadrat yuzasining qiymati. Bu holda
(1.8)
(1.7) va (1.8) tenglamalarga asosan:
(1.9)