11-Занятия. Евклидовы пространства. Существование ортогонального базиса. Процесс ортогонолизации базиса. Ортонормальные базисы

Теорема 11.2. Для любых двух векторов евклидова пространства выполняется неравенство:
(11.3)
Неравенство (11.3) называется неравенством Коши-Буняковского.
В силу неравенства Коши-Буняковского,

для любых ненулевых векторов евклидова пространства . Поэтому существует единственный угол , такой, что

Этот угол называется углом между векторами а .
Теорема 11.3. В евклидовом пространстве для любых векторов а и в справедливы следующие утверждения:

1. 
   ;
   
2. 
   .
   Первое утверждение теоремы называется теоремой косинусов, второе - неравенством треугольника.
   

Векторы евклидова пространства называются ортогональными, если . Будем писать в этом случае
Система векторов евклидова пространства называется ортогональнои, если любая пара векторов этой системы ортогональна, т. е. для всех . Будем полагать, что система, состоящая из одного вектора, ортогональна. Ортогональная система нормированных векторов евклидова пространства называется ортонормированной.
Теорема 11.4. Ортогоналъная система ненулевых векторов евклидова пространства линецно независима.
Ввиду теоремы ортогональные системы играют в евклидовых пространствах фундаментальную роль. Процесс перехода к ортогональной системе векторов называется процессом ортогонализации. Процесс ортогонализации, описанный ниже, называется процессом ортогонализации Грамма-Шмидта.
Пусть - линейно независимая система векторов евклидова пространства . По векторам этой системы будем последовательно строить ортогональную систему ненулевых векторов . Полагаем . Если векторы уже построены, то вектор находится по формуле
(11.4)
(11.5)
Теорема 11.5. В ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированныи базис.
Пусть евклидовы пространства и изоморфны как линейные пространства, т. е. существует взаимно однозначное линейное отображение пространства на пространство . Если при этом отображении сохраняется скалярное произведение, т. е. для любых , то отображение называется евклидовы.м изоморфизмом пространсте и . Сами пространства и называются в этом случае евклидово изоморфными пространствами.
Теорема 11.6. Два конечномерных евклидовых пространства евклидово изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.
Следствие. Каждое n-мерное евклидово пространство евклидово изоморфно пространству .