11-Занятия. Евклидовы пространства. Существование ортогонального базиса. Процесс ортогонолизации базиса. Ортонормальные базисы


Download 26.92 Kb.
bet3/3
Sana14.12.2022
Hajmi26.92 Kb.
#1003193
1   2   3
Bog'liq
Занятие 11

11.2. Примеры решения задач

Пример 11.1.
Пусть

Является ли функция

скалярным произведением в ? Если нет, то укажите, какие из свойств скалярного произведения нарушаются.
Очевидно, . Значит, первое свойство скалярного произведения выполняется. Положим

Значит, второе свойство скалярного произведения выполняется. Так как для любого

то третье свойство скалярного произведения выполняется. Положим . Тогда

Значит, четвертое свойство скалярного произведения не выполняется.
Пример 11.2. Векторы образуют ортогональный базис евклидова пространства и

Найдите угол между векторами

Так как векторы образуют ортогональный базис , то . Поэтому

Теперь

и угол .


Пример 11.3. Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, по заданному базису

постройте в ортонормированный базис.
Построим сначала ортогональный базис пространства . Положим . Ввиду и имеем , где

Тогда

Снова ввиду и имеем , где

Тогда . Пронормируем векторы . Для этого найдем их длины:

Теперь векторы

образуют ортонормированный базис пространства . 区
Индивидуальные задания

  1. Пусть и - векторы действительного линейного пространства . Является ли функция скалярным произведением? Если нет, то укажите какие из аксиом скапярного произведения нарушаются.

1.1. ,

1.2. ,

1.3. ,


  1. В евклидовом пространстве найдите скалярное произведение векторов и угол между ними.








.





.





.








  1. Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, по заданному базису пространства постройте ортонормированныӥ базис. Сделайте проверку.










.







.







.







Download 26.92 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling