11.2. Примеры решения задач
Пример 11.1. Пусть
Является ли функция
скалярным произведением в ? Если нет, то укажите, какие из свойств скалярного произведения нарушаются.
Очевидно, . Значит, первое свойство скалярного произведения выполняется. Положим
Значит, второе свойство скалярного произведения выполняется. Так как для любого
то третье свойство скалярного произведения выполняется. Положим . Тогда
Значит, четвертое свойство скалярного произведения не выполняется.
Пример 11.2. Векторы образуют ортогональный базис евклидова пространства и
Найдите угол между векторами
Так как векторы образуют ортогональный базис , то . Поэтому
Теперь
и угол .
Пример 11.3. Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, по заданному базису
постройте в ортонормированный базис.
Построим сначала ортогональный базис пространства . Положим . Ввиду и имеем , где
Тогда
Снова ввиду и имеем , где
Тогда . Пронормируем векторы . Для этого найдем их длины:
Теперь векторы
образуют ортонормированный базис пространства . 区
Индивидуальные задания
Пусть и - векторы действительного линейного пространства . Является ли функция скалярным произведением? Если нет, то укажите какие из аксиом скапярного произведения нарушаются.
1.1. ,
1.2. ,
1.3. ,
В евклидовом пространстве найдите скалярное произведение векторов и угол между ними.
Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, по заданному базису пространства постройте ортонормированныӥ базис. Сделайте проверку.
Do'stlaringiz bilan baham: |