12-mavzu. Aniq integral, xossalari. N’yuton-leybnits formulasi

ANIQ INTEGRAL

1. Aniq integralning ta’riflari

 funksiya  kesmada aniqlangan bo’lsin.  kesmaning  shartni qanoatlantiradigan chekli sondagi  nuqtalar sistemasiga  kesmaning bo’linishi deyiladi va u  kabi belgilanadi.  nuqta  bo’linishning bo’luvchi nuqtasi  kesma esa, qism oralig’i deyiladi. Agar  kesmaning ixtiyoriy  bo’linishidagi qism oralig’ining uzunliklari bir xil bo’lsa, u holda, bunday bo’linish,  kesmaning regulyar bo’linishi deyiladi. ,  bo’linishning diametri, deb ataladi. Har bir kesmadan  nuqtani olamiz: .

1.1 – ta’rif. Ushbu

 (1.1)

yig’indiga,  funksiyaning,  bo’linishga va  nuqtani tanlashga mos kelgan, integral yig’indisi (Riman yig’indisi) deb ataladi.

1.2– ta’rif. Agar  olinganda ham, shunday  mavjud bo’lib, diametri  bo’lgan  kesmaning har qanday  bo’linishida, hamda  nuqtani tanlashga bog’liq bo’lmagan holda,

 (1.2)

tengsizlik bajarilsa, u holda, shu  son, integral yig’indining limiti deyiladi va u  kabi yoziladi.

1.3– ta’rif. Agar  funksiya uchun, (1.1) integral yig’indining  da  limiti mavjud bo’lsa, u holda,  funksiya  kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.

Integral yig’indining  limitiga  funksiyadan  kesma bo’yicha olingan aniq integral (Riman ma’nosida) deyiladi va u

 (1.3)

simvol orqali belgilanadi (1.3) da, - integral ostidagi funksiya,  son- integralning quyi chegarasi,  son esa,- integralning yuqori chegarasi, deb ataladi. Integral ostidagi  o’zgaruvchini boshqa o’zgaruvchiga almashtirish ham mumkin, ya’ni

va h.k..

Ta’rif bo’yicha,  (  deb olamiz).