13- mavzu karrali integrallar

2.1.2. Ikki karrali integralni hisoblash


integrallash sohasi va funksiyalarning grafiklari hamda va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyadan iborat bo’lsin (3-shakl).
sohaning istalgan ichki nuqtasi orqali o’qqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq sohaning chegarasini ikkita va nuqtalarda kesib o’tsin. Bunda chegaraga kirish chegarasi , chegaraga chiqish chegarasi deyiladi.
3-ta’rif. Agar sohaning ichki nuqtasidan o’tuvchi o’qqa parallel har
qanday to’g’ri chiziq chegarani ikkita nuqatada kesib o’tsa va sohaning kirish va chiqish chegaralarining har biri alohida tenglamalar bilan berilgan bo’lsa, u holda soha o’qi yo’nalishi bo’yicha muntazam soha deb ataladi.
o’qi yo’nalishi bo’yicha muntazam soha quyidagicha yoziladi:

.
A gar ta’rifdagi shartlardan aqalli bittasi buzilsa, u holda soha o’qi yo’nalishi bo’yicha nomuntazam soha deb ataladi. Nomuntazam sohani o’qiga parallel to’g’ri chiziqlar bilan har biri o’qi yo’nalishi
bo’yicha muntazam sohalarga bo’lish mumkin (4-shakl).
sohada bo’lsin. U holda ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga ko’ra
. (2.3)
Silindrik jismni o’qiga perpendikulyar bo’lgan tekislik bilan kesamiz (2-shakl). Kesimda egri chiziqli trapetsiya hosil bo’ladi. Uning yuzasi o’zgaruvchining funksiyasi, ya’ni bo’ladi.
Bunda silindrik jism hajmi
(2.6)
kabi aniqlanadi. Bundan tashqari egri chiziqli trapetsiya uchun quyidagi
tenglik o’rinli bo’ladi:
, (2.7)
bu yerda, faqat o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi, chunki bu funksiya


sirt bilan tekislik kesishmasidan hosil bo’lgan chiziqni
ifodalaydi.
(2.6) va (2.7) tenglamalardan topamiz:
. (2.8)
(2.3) va (2.8) tenglamalarni umumlashtirsak:

yoki
. (2.9)
Bunda ichki integral deyiladi. Ichki integralda o’zgarmas
hisoblanadi va integrallash o’zgaruvchi bo’yicha bajariladi. Ichki integralni hisoblash natijasida umuman olganda ning funksiyasi hosil bo’ladi. Bu funksiya tashqi integral uchun integral osti funksiyasi bo’ladi. Tashqi integral o’zgaruvchi bo’yicha dan
gacha hisoblanadi.
(2.9) formula sohada bo’lganda ham o’rinli bo’ladi.
1-misol. integralni hisoblang, bu yerda
tengsizliklar bilan aniqlanuvchi to’g’ri to’rtburchak.
Y e c h i s h.

integrallash sohasi uchun
(2.10)
formula shu kabi hosil qilinadi.
Agar nomuntazam soha bo’lsa, u holda soha bir nechta muntazam sohalarga bo’linadi, bu sohalarning har birida ikki karrali integrallar hisoblanadi, so’ngra xossani qo’llash orqali natijalar jamlanadi.
(2.9) va (2.10) tengliklardan

tenglik kelib chiqadi. Demak, ikki karrali integralda integrallash tartibini o’zgartirish mumkin.
2-misol. integralda integrallash tartibini o’zgartiring.
Y e c h i s h. Integrallash sohasi quyidagi tengsizliklar sistemalari bilan aniqlanuvchi
va sohalardan tashkil topadi:

Integlash sohasini boshqacha tarzda quyidagi tengsizliklar sistemasi bilan
aniqlanuvchi bitta soha bilah ifodalaymiz (5-shakl):

U holda

Aniq integrallarni hisoblashda o’zgaruvchilarni almashtirish usuli muhim ekanini bilamiz. Bu usulda integral ostidagi ifoda boshqa oson integrallanadigan ifoda bilan almashtiriladi. Ikki karrali integral uchun shu usulni ko’rib chiqamiz.

funksiya biror chegaralangan, yopiq sohada uzluksiz bo’lsin. Bunday funksiya uchun integral mavjud bo’ladi.
Integralda
(2.11)
bog’lanish orqali yangi va o’zgaruvchilarga o’tamiz.
va o’zgaruvchilarni (2.11) formulalardan yagona usul bilan topish mumkin bo’lsin. U holda va bog’lanishlar bilan sohaning koordinatalar tekisligidagi har bir nuqtasiga to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasidan biror nuqta mos keltiriladi. Barcha nuqtalar to’plami chegaralangan yopiq sohani hosil qiladi (6-shakl).
Agar va funksiyalar sohada uzluksiz birinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo’lib, shu sohada
(2.12)
bo’lsa, u holda ikki karrali integral uchun ushbu
(2.13)
o’zgaruvchilarni almashtirish formulasi o’rinli bo’ladi.
determinant va funksiyalarning va o’zgaruvchilar bo’yicha funksional determinanti yoki yakobiani deyiladi.
3-misol. integralni hisoblang,
bu yerda to’g’ri chiziqlar bilan
chegaralangan soha.
Y e c h i s h. deb olamiz.
Bundan

Yakobianni hisoblaymiz:
ya’ni
Shunday qilib,

bu yerda .
Demak,


Ikki karrali integralni , qutb koordinatalarida hisoblaymiz. bo’g’lanishlardan yakobianni topamiz:
.

Demak, ikki karrali integrallar qutb koordinatalarida ushbu

(2.14)
o’zgaruvchilarni almashtirish formulasi bilan hisoblandi.
Q utb koordinatalar sistemasida integrallash chegarasi qutbning joylashishiga bog’liq holda aniqlanadi.
Agar qutb va nurlar orasida joylashgan sohadan tashqarida yotsa va koordinata chiziqlari soha chegarasini ikki nuqtada kesib o’tsa (7-shakl), u holda ikki karrali integralni
hisoblash formulasi quyidagi ko’rinishni oladi:
(2.15)
Agar qutb integrallash sohasida yotsa va koordinata chiziqlari soha
chegarasini bitta nuqtada kesib o’tsa (8-shakl), u holda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi:
(2.16)
Agar qutb sohaning chegarasiga tegishli bo’lib, soha va
nurlar orasida yotsa (9-shakl), u holda ushbu
(2.17)
formula o’rinli bo’ladi.

4-misol. integralni hisoblang, bu yerda va aylanalar bilan chegaralangan soha.

Y e c h i s h. Integralni qutb koordinatalarida hisoblaymiz. , aylanalar qutb koordinatalarida , formulalar bilan ifodalanadi, bu yerda (10-shakl).
(2.15) formuaga binoan