13- mavzu karrali integrallar

2.1.5. Karrali integrallarning taTbiqLARi

a) Yassi figura yuzasini hisoblash. (4) formulaga ko’ra yassi figura yuzasi

integral bilan hisoblanadi.
Xususan, soha egri chiziqli trapetsiya bo’lsa, u holda oldindan ma’lum formulaga ega bo’lamiz:
.
b) Sirt yuzasini hisoblash. tekislikning sohasida berilgan funksiya shu sohada xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin. Bunday funksiya bilan aniqlangan sirt silliq sirt deyiladi. Bunda soha bu sirtning tekislikdagi proyeksiya bo’ladi. U holda , funksiya bilan aniqlangan sirtning
yuzasi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(2.27)
c) Jism hajmini hisoblash. Ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga binoan:
. (2.28)
Bundan tashqari uch karrali integralning geometrik ma’nosiga ko’ra: . (2.29)
9-misol. Ushbu ellipsoidning hajmini toping.
Y e c h i s h. da ellipsoid hajmini deylik. U holda

bu yerda ellips bilan chegaralangan soha.
almashtirish bajarsak, soha to’g’ri to’rtburchakka akslanadi.
Bundan
.
Demak,


d) Ikki karrali integralning mexanikaga tatbiqi. soha tekislikda berilgan zichligi ga teng bo’lgan bir jinsli plastinka bo’lsin. Bu plastinkaning ba’zi mexanik parametrlari ikki karrali integral orqali quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
1) plastinkaning massasi

2) plastinkaning va o’qlarga nisbatan statik momentlari

3) plastinka og’irlik markazining koordinatalari

4) plastinkaning koordinatalar boshiga va , o’qlarga nisbatan inertsiya momentlari

e) Uch karrali integralning mexanikaga tatbiqi. zichligi ga teng bo’lgan bir jinsli jism bo’lsin. U holda bu jismning ba’zi mexanik parametrlari uch karrali integral yordamida quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
1) jismning massasi:
;
2) jismning , va tekisliklarga nisbatan statik momentlari:

3) jism og’irlik markazining koordinatalari:

4) jismning koordinatalar boshiga va , , o’qlarga nisbatan inertsiya momentlari


5) jismning , va tekisliklarga nisbatan inertsiya momentlari

10-misol. Radiusi ga va og’irligi ga teng bo’lgan bir jismli sharning markazi va diametriga nisbatan inertsiya momentlarini hisoblang.
Y e c h i s h. Shar hajmi . Bundan shar zichligi bo’ladi.
Shar markazini koordinatalar boshiga joylashtirsak, uning sirti formula bilan aniqlanadi. Sharning markazga nisbatan inertsiya momentini hisoblaymiz:



Shar bir jinsli va simmetrik bo’lgani uchun uning barcha diametrlari bo’yicha inertsiya momentlari bir xil bo’ladi. Shu sababli sharning o’qida yotuvchi diametri
bo’yicha inertsiya momentini hisoblaymiz: