13- mavzu karrali integrallar

2.1.4. Uch karrali integralni hisoblash

Uch karrali integralni hisoblash uchta aniq integralni ketma-ket integrallashga keltiriladi. Agar integrallash sohasi pastdan sirt bilan, yuqoridan sirt bilan chegaralangan bo’lsa hamda sohaning tekislikdagi proyeksiyasi chiziqlar bilan (bunda ) va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya bo’lsa, u holda uch karrali integral quyidagi formula bilan hisoblanadi:

. (2.22)
5-misol. integralni hisoblang, bunda sirtlar bilan chegaralangan soha.
Y e c h i s h. Berilgan sirtlar bo’yicha integrallash sohasini tuzamiz (11-shakl).
soha uchun: .
Bundan



Uch karrali integral uchun ushbu
(2.23)
o’zgaruvchilarni almashtirish formulasi o’rinli bo’ladi, bu yerda
(2.24)
Uch karrali integralni silindrik koordinatalar sistemasida hisoblaymiz. Bu sistemada ixtiyoriy nuqta kabi belgilanadi (12-shakl). Bunda
.
Silindrik koordinatalar sistemasi uchun yakobian
Demak,
(2.25)
Uch karrali integralni sferik koordinatalar sistemasida hisoblaymiz. Bu sistemada ixtiyoriy nuqta kabi belgilanadi (13-shakl). Bunda .
Sferik koordinatalar sistemasi uchun yakobian
Demak,
. (2.26)
6-misol. integralni isoblang, bunda sirtlar bilan chegaralangan soha.
Y e c h i s h. Berilgan sirtlar bo’yicha
sohani chizamiz (14-shakl).


7-misol. integralni hisoblang, bu yerda sfera va tekislik bilan chegaralangan soha.
Y e c h i s h. integrallash sohasi tekislikning o’ng tomonda joylashgan yarim shardan iborat. Bunda .
Demak,

8-misol. konusning silindr ichida yotgan qismi yuzasini toping.
Y e c h i s h. 15-shaklga ko’ra soha doiradan iborat.
Xususiy hosilalarni topamiz:

Demak,


.