13-amaliy mashg‘ulot: Operatorlarning spektri va rezolventasiga oid masalalar

Yechish. a) operatorning xos qiymatlarini topish uchun quyidagi tasdiqdan foydalanamiz.
1-tasdiq. soni operatorning xos qiymati bo‘lishi uchun

tenglikning bajarilishini zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. Aytaylik soni operatorlarning xos qiymati bo‘lsin, ya’ni biror nolmas element uchun

tenglik bajarilsin. U holda
, (7)
bunda
. (8)
Agar bo‘lsa, (7) tenglik tenglikka aylanadi. Bundan ning nolga tengligiga ega bo‘lamiz. Tanlanishiga ko‘ra . Shunday ekan, . Yuqoridagi (7) tenglikdan

ni topamiz va buni (8) ga qo‘yib

tenglikka ega bo‘lamiz. bo‘lganligi uchun

tenglikni hosil qilamiz.
Yetarliligi. Aytaylik son uchun tenglik bajarilsin. U holda fynksiyani olsak,

tenglik bajariladi. Bundan son operator uchun xos qiymat bo‘lishi va unga mos xos funksiya bo‘lishi kelib chiqadi.
operatorning kesmadan tashqaridagi xos qiymatlarini topamiz. Hamma manfiy lar uchun

tengsizlik o‘rinli. Bundan tashqari bo‘lsa, bo‘lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. 1-tasdiqqa ko‘ra operator xos qiymatlarga ega bo‘lish mumkin. Aytaylik, bo‘lsin. U holda

munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Bu yerdan intervalda ning o‘sishi va yagona nuqtada tenglik bajarilishi kelib chiqadi. Shunday qilib, [0,1] kesmadan tashqarida operatorning yagona xos qiymati mavjud ekanligiga ega bo‘lamiz. Aytaylik, son operatorning xos qiymati bo‘lmasin. operatorga teskari operatorni topamiz (chunki operator mavjud):
,
tenglikdan (8) ni e’tiborga olgan holda ni topamiz:
,
bundan
. (9)
uchun olingan (23.28) ifodani (23.27) ga qo‘ysak, uchun

tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu yerdan, shartga ko‘ra bo‘lganligi uchun

ni hosil qilamiz. Demak,
.
Shunday qilib, operatorning rezolventasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Olingan natijalardan ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa, u holda va chegaralangan, bu yerda va .
b) bo‘lsin. U holda , chunki funksiyani olsak, . Demak, va, shuning uchun, . Shunday qilib, operatorning spektri to‘plamdan iborat, bunda va .

4. 
   fazoda berilgan
   

,
operatorning spektri va rezolventasini toping.